G 2.5 Приклад розв’язку індивідуального завдання 2
У півсмузі
,
вирішити задачу:
; (2.5.1)
; (2.5.2)
. (2.5.3)
Розв’язок. Рівняння (2.5.1) і граничні умови (2.5.2) однорідні, тому для розв’язку крайової задачі (2.5.1)-(2.5.3) використовуємо метод Фур'є. Нетривіальний розв’язок рівняння (2.5.1) шукаємо у вигляді:
. (2.5.4)
Підставимо (2.5.4) у (2.5.1):
Розділивши отриманий
вираз на
,
отримуємо:
.
У підсумку одержимо два звичайні диференціальних рівняння:
, (2.5.5)
. (2.5.6)
Підставляючи вираз (2.5.4) у граничні умови (2.5.2), одержуємо
;
,
(у протилежному
випадку
),
тому
. (2.5.7)
Для визначення
власної функції
одержали задачу Штурма-Ліувілля (2.5.6),
(2.5.7). Загальний розв’язок рівняння
(2.5.6) має вигляд:
. (2.5.8)
Задовольнимо умови (2.5.7):
;
(2.5.9)
.
Якщо в останньому
виразі припустити
або
,
то одержимо
,
тоді на підставі (2.5.4)
,
що неможливо, тому що тривіальний
розв’язок не задовольняє початкову
умову (2.5.3). Отже
,
звідки одержуємо:
. (2.5.10)
Вважаючи
,
на підставі співвідношень (2.5.8), (2.5.9),
(2.5.10), отримуємо власну функцію:
(2.5.11)
яка задовольняє на підставі (2.5.4), (2.5.7) граничні умови (2.5.2).
Визначимо функцію
з диференціального рівняння (2.5.5), що є
рівнянням із відокремлюваними змінними.
Його загальний розв’язок має вигляд:
. (2.5.12)
Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння (2.5.1), що задовольняє граничні умови (2.5.2), відповідно до (2.5.4), має вигляд:
. (2.5.13)
Сума частинних розв’язків (2.5.13) також є розв’язком задачі (2.5.1) — (2.5.3). Тоді згідно (2.5.13), (2.5.11), (2.5.12) отримуємо:
. (2.5.14)
Визначимо невідомі
постійні
,
використовуючи початкову умову (2.5.3):
. (2.5.15)
У загальному
випадку вираз (2.5.15) — розкладання функції
за ортогональною системою функції в
інтервалі
,
— коефіцієнти цього розкладання:
. (2.5.16)
Однак, у даному прикладі можна обійтися без обчислення інтеграла (2.5.16). Запишемо вираз (2.5.15) у розгорнутому вигляді:
(2.2.17)
Очевидно, що,
припустивши
,
,
ми одержимо тотожність. Визначивши
таким чином коефіцієнти
і підставивши їх у співвідношення
(2.5.14), одержуємо остаточний розв’язок
крайової задачі (2.5.1)-(2.5.3):
? 2.6 Варіанти індивідуального завдання 2
Застосувавши метод
поділу змінних, у півсмузі
розв’язати крайову задачу для рівняння
теплопровідності:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Наведеним методом Фур’є розв’язують також однорідні крайові задачі для рівнянь гіперболічного та еліптичного типів.