2.3 Початкові та крайові умови

Початкова умова для рівняння теплопровідності задає температуру у всіх точках стрижня в деякий момент, від якого ведеться відлік часу (звичайно вважають, що в початковий момент ). Тоді початкова умова набуває вигляду:

, (2.3.1)

де — задана функція.

Крайові умови повинні виконуватися там, де стрижень може мати теплообмін із навколишнім середовищем, тобто на торцевих перетинах стрижня. У загальному випадку крайові умови мають вигляд:

(2.3.2)

де — задані температури зовнішнього середовища; — коефіцієнти теплообміну на торцях стрижня, що залежать від фізичних властивостей стрижня і середовищ; — коефіцієнт теплопровідності стрижня.

Найпростіший випадок крайових умов (2.3.2) — той, коли кінці стрижня підтримуються при постійній температурі:

, (2.3.3)

тут — задані числа.

Якщо якийсь кінець стрижня теплоізольований, то відповідний коефіцієнт теплообміну в співвідношеннях (2.3.2) дорівнює нулю і крайова умова на цьому кінці набуває вигляду:

. (2.3.4)

У випадку крайові умови (2.3.2) або (2.3.3) є однорідними, у протилежному випадку — неоднорідними.

2.4 Метод Фур’є щодо розв’язку крайових задач для рівнянь параболічного типу

Припустимо, що довжина стрижня дорівнює . Початок координат на осі виберемо на лівому кінці стрижня; тоді його торцеві перетини будуть і . Математична постановка однорідної крайової задачі така: необхідно визначити температуру , що задовольняє однорідному рівнянню

, (2.4.1)

задовольняє початкову умову

, (2.4.2)

та однорідні граничні умови

(2.4.3)

Окремими випадками крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3) є задача про визначення функції з диференціального рівняння (2.4.1) за заданої початкової умови (2.4.2) й таких граничних умов:

Задача А: теплоізоляція обох кінців стрижня

. (2.4.4)

Задача Б: сталість температури на кінцях стрижня

. (2.4.5)

Задача В: один із кінців стрижня (наприклад, лівий) теплоізольований, а інший підтримується при постійній температурі

. (2.4.6)

Для розв’язання поставленої однорідної крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3) використовується метод поділу змінних — метод Фур'є. Цей метод складається з двох частин. Спочатку знайдемо частинні розв’язки рівняння (2.4.1), що мають вигляд:

. (2.4.7)

Підставляючи вираз (2.4.7) у диференціальне рівняння (2.4.1) і розділивши обидві частини рівності на множник , одержимо:

.

Ліва частина отриманого рівняння залежить від змінної , права — від , тому через незалежність змінних остання рівність можлива, якщо кожна з частин цього рівняння є константою. Позначимо цю константу « », тоді

або

, (2.4.8)

. (2.4.9)

Загальний розв’язок рівняння (2.4.8) має вигляд:

.

Оскільки в жодному перетині стрижня (тобто ні при якому фіксованому ) температура не може безмежно зростати за абсолютною величиною , тому , отже:

. (2.4.10)

Рівняння (2.4.9) набуває вигляду: і має загальний розв’язок:

. (2.4.11)

Підставимо вираз (2.4.7) у граничні умови (2.4.3), отримуємо:

Функція (у протилежному випадку ), тому останні співвідношення можливі у випадку:

(2.4.12)

Підставляючи в співвідношення (2.4.12) вирази для функції згідно з (2.4.11), отримуємо в загальному випадку крайових умов (2.4.3) трансцендентне рівняння для визначення :

, (2.4.13)

причому

. (2.4.14)

Розглянемо окремі випадки рівняння (2.4.13).

У задачах А, Б, вважаючи відповідно ; , рівняння (2.4.13) набуває того самого вигляду: , тоді

(2.4.15)

У задачі В, припускаючи у формулі (2.4.13) , одержуємо тригонометричне рівняння для визначення : , отже:

(2.4.16)

Таким чином, може набувати значення з нескінченої послідовності , отриманих у загальному випадку однорідних крайових умов (2.4.3) із рівняння (2.4.13) або в окремих випадках задач А—В зі співвідношень (2.4.15), (2.4.16).

Знайдені значення називаються власними числами задачі. Кожному з власних чисел будуть відповідати свої коефіцієнти , у формулі (2.4.11).

Таким чином, відповідно до співвідношень (2.4.7), (2.4.10), (2.4.11), розв'язки рівняння (2.4.11), що задовольняють крайові умови (2.4.3), повинні мати вигляд:

, (2.4.17)

де пов'язані співвідношенням (2.4.14); ; ; визначено відповідно до (2.4.13).

У задачі А визначено формулою (2.4.15). Використовуючи крайові умови (2.4.4) з урахуванням (2.4.17) знаходимо: . Таким чином, розв’язок задачі А, що задовольняє диференціальному рівнянню (2.4.1) і крайовим умовам (2.4.4) набуває вигляду:

. (2.4.18)

У задачі Б . Підставивши (2.4.17) до граничних умов (2.4.5) визначаємо: . Розв’язок набуває вигляду:

. (2.4.19)

У задачі В, використовуючи граничні умови (2.4.6), з урахуванням розв’язку (2.4.17) і знайдених значень із (2.4.16), отримуємо розв’язок у такому вигляді:

. (2.4.20)

У другій частині методу Фур'є за допомогою частинних розв’язків виду (2.4.17) або (2.4.18)-(2.4.20) побудуємо розв’язок, що задовольняє початкову умову (2.4.2). У силу лінійності й однорідності рівняння (2.4.1) сума розв’язків також буде його розв’язком, і, крім того, задовольнятиме задані крайові умови.

Таким чином, розв’язок задачі (2.4.1) — (2.4.3) може бути поданий у вигляді:

. (2.4.21)

Відповідно до початкової умови (2.4.2):

, . (2.4.22)

Система функцій , є ортогональною на інтервалі . Згідно з (2.4.22) — коефіцієнти розкладання функції за ортогональною системою функцій :

(2.4.23)

де .

Підставляючи знайдені значення згідно з (2.4.23) у формулу (2.4.21), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1)-(2.4.3).

Задача А. Розв’язок згідно (2.4.18) має вигляд :

. (2.4.24)

Згідно з початковою умовою (2.4.2):

знаходимо значення — коефіцієнтів розкладу функції на інтервалі у неповний ряд Фур'є — ряд косинусів:

.

Підставляючи цей вираз у формулу (2.4.24), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.4).

Задача Б. Тут розв’язок згідно з (2.4.19) має вигляд:

. (2.4.25)

Початкова умова:

дозволяє визначити значення — коефіцієнти розкладання функції в ряд Фур'є за синусами:

і підставивши цей вираз у формулу (2.4.25), отримуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.5).

Задача В. Розв’язок згідно з (2.4.20) має вигляд :

, (2.4.26)

і початкова умова записується так:

, . (2.4.27)

Легко перевірити, що система функцій ортогональна на інтервалі . Причому , тому коефіцієнти — коефіцієнти розкладання функції за ортогональною системою функцій визначаються згідно зі співвідношенням:

(2.4.28)

Підставляючи вираз (2.4.28) у формулу (2.4.26), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.4.1), (2.4.2), (2.4.6).