G 2.7 Приклад розв’язку індивідуального завдання 3
У півсмузі , розв’язати задачу:
; (2.7.1)
; (2.7.2)
; (2.7.3)
.
(2.7.4)
Розв’язок. Рівняння (2.7.1) і граничні умови (2.7.2) однорідні, тому для розв’язку крайової задачі (2.7.1)-(2.7.3) використовуємо метод Фур'є. Частинний розв’язок рівняння (2.7.1) шукаємо у вигляді:
. (2.7.5)
Підставимо (2.7.5) у (2.7.1):
Розділивши отриманий вираз на , отримуємо:
.
У підсумку отримуємо два звичайні диференціальні рівняння:
,
(2.7.6)
. (2.7.7)
Підставляючи (2.7.5) у граничні умови (2.7.2), одержуємо
;
,
звідки
. (2.7.8)
Для визначення власної функції одержали задачу Штурма-Ліувілля (2.7.7), (2.7.8). Її розв’язок — власні числа та власні функції — має вигляд:
, 
(2.7.9)
Визначимо функцію з диференціального рівняння (2.7.6).
, (2.7.10)
де
та
— довільні сталі інтегрування.
Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння (2.7.1), що задовольняє граничні умови (2.7.2), відповідно до (2.7.5), має вигляд:
. (2.7.11)
Сума частинних розв’язків (2.7.11) також є розв’язком задачі (2.7.1) — (2.7.4):
. (2.7.12)
Визначимо невідомі сталі та , використовуючи початкові умови (2.7.3) та (2.7.4):
. (2.7.13)
(2.7.14)
Із умови (2.7.13) знаходимо:
,
.
Згідно з умовою (2.7.14) отримуємо:
Підставивши значення невідомих сталих інтегрування у (2.7.12), одержуємо остаточний розв’язок крайової задачі (2.7.1) — (2.7.4):
? 2.8 Варіанти індивідуального завдання 3
У півсмузі , вирішити задачу:
.
.
.
Тема 3. Постановка та методи розв’язку неоднорідних крайових задач математичної фізики
3.1 Крайова задача з неоднорідним рівнянням теплопровідності та однорідними крайовими умовами
Сформулюємо
математичну постановку задачі. Потрібно
визначити функцію
,
,
,
що задовольняє неоднорідному рівнянню
теплопровідності:
(3.1.1)
задовольняє початкову умову:
(3.1.2)
і однорідні граничні умови:
(3.1.3)
(або їхні окремі випадки: формули (2.4.4) — (2.4.6)).
Для розв’язку поставленої задачі застосовується метод представлення розв’язку у вигляді ряду за власними функціями відповідної однорідної крайової задачі. Його суть така.
Визначаємо власну функцію відповідної однорідної крайової задачі (див. п.2.4). У залежності від різновиду граничних умов вона має вигляд:
. (3.1.4)
Розв’язок вихідної неоднорідної крайової задачі (3.1.1) — (3.1.3) шукаємо у вигляді:
,
(3.1.5)
де
— функції, що необхідно визначити.
Представляємо
функцію
,
що входить у диференціальне рівняння
(3.1.1), у вигляді:
(3.1.6)
і знаходимо коефіцієнти цього розкладання:
(3.1.7)
де
Підставляємо розкладання (3.1.5), (3.1.6) у диференціальне рівняння (3.1.1):
,
(на підставі
(3.1.4)), тому записуючи останній вираз під
знаком однієї суми, виносячи загальний
множник
за дужки, одержуємо звичайне лінійне
диференціальне рівняння першого порядку
для визначення невідомих функцій
:
. (3.1.8)
Розв’язавши рівняння (3.1.8) звичайними методами (методом варіації довільної сталої, або підстановкою Бернуллі, або методом невизначених коефіцієнтів у випадку спеціальної правої частини) знаходимо:
(3.1.9)
де — довільна постійна інтегрування.
Підставляючи вираз (3.1.9) у (3.1.5), одержуємо розв’язок, що задовольняє вихідному рівнянню (3.1.1) і задовольняє задані однорідним граничні умови
. (3.1.10)
Визначаємо сталі шляхом задоволення розв’язком (3.1.10) заданої початкової умови (3.1.2).
Підставивши знайдені значення в співвідношення (3.1.10), отримуємо остаточний розв’язок поставленої задачі (3.1.1) — (3.1.3).