G 3.5 Приклад розв’язку індивідуального завдання 5

Застосовуючи метод Дюамеля, у півсмузі , розв’язати крайову задачу з неоднорідним хвильовим рівнянням та однорідними граничними та початковими умовами:

; (3.5.1)

; (3.5.2)

; (3.5.3)

де

Розв’язок. Відповідна однорідна крайова задача має вигляд:

; (3.5.4)

; (3.5.5)

, (3.5.6)

де ,

Задачу (3.5.4) — (3.5.6) розв’язуємо методом Фур’є. Її розв’язок шукаємо у вигляді

. (3 .5.7)

Згідно з (3.5.4), (3.5.5) та (3.5.7), маємо

, (3.5.8)

(3.5.9)

Розв’язком наведеної задачі Штурма- Ліувіля (3.5.9) є власні числа

та власні функції

.

Інтегруючи рівняння (3.5.8) та враховуючи знайдені значення , отримуємо

,

де , — невідомі сталі інтегрування.

Згідно з принципом суперпозиції частинних розв’язків, функція

(3.5.10)

також задовольняє (3.5.4) та (3.5.5). Знаходимо невідомі , згідно з початковими умовами (3.5.6).

.

Тоді згідно з (3.5.10), отримуємо остаточний розв’язок допоміжної задачі (3.5.4) – (3.5.6):

(3.5.11)

Згідно з методом Дюамеля, розв’язок вихідної задачі (3.5.1) — (3.5.3) визначається за формулою

,

тобто

, (3.5.12)

де

. (3.5.13)

Підставимо (3.5.13) у (3.5.12), отримуємо остаточний розв’язок вихідної задачі

де .

? 3.6 Варіанти індивідуального завдання 5

Застосовуючи метод Дюамеля, у півсмузі , розв’язати крайову задачу

3.7 Перетворення неоднорідних граничних умов на однорідні

У випадку якщо крайова задача містить неоднорідні граничні умови, то для її розв'язку необхідно перетворити неоднорідні граничні умови на однорідні. Для цього розв’язок крайової задачі шукаємо у вигляді суми:

, (3.7.1)

де одна з функцій, наприклад, задовольняє задані умови (2.3.2) (із точністю до заміни в них на ).

Розглянемо деякі окремі випадки граничних умов (2.3.2) і визначимо для них аналітичний вигляд функції .

Випадок 1

Нехай на кінцях стрижня задані теплові потоки

, (3.7.2)

де , — відомі функції часу.

Тобто функція має задовольняти умови

. (3.7.3)

Припустимо:

, (3.7.4)

тоді

.

Невизначені константи визначаємо з умов (3.4.3)

Покладемо і підставимо отримані значення у вираз (3.7.4), одержуємо таким чином аналітичний вираз для функції , що задовольняє крайові умови (3.7.3):

(3.7.5)

Випадок 2

а) Якщо на лівому кінці стрижня заданий тепловий потік, а на правому — температура, то для функції повинні виконуватися умови:

(3.7.6)

Визначимо функцію у вигляді:

(3.7.7)

Визначаємо коефіцієнти , використовуючи умови (3.7.6):

Остаточно для функції одержуємо:

. (3.7.8)

б) Якщо на правому кінці стрижня заданий тепловий потік, на лівому — температура, то для функції маємо умови:

(3.7.9)

Аналогічним способом, відповідно до (3.7.7), (3.7.9), знаходимо:

. (3.7.10)

Випадок 3

Якщо на кінцях стрижня задана температура, то функція повинна задовольняти такі умови:

(3.7.11)

Представляючи функцію у вигляді (3.7.7), відповідно до (3.7.11) знаходимо:

(3.7.12)