6. Равновесие жидкости в движущемся сосуде

Эти задачи представляют интерес при определении нагрузок на стенки сосуда, движущегося поступательно и прямолинейно или вращающегося с постоянной угловой скоростью, когда модуль ускорения каждой частицы жидкости не изменяется по величине. Использование принципа Д’Аламбера позволяет свести эти задачи к задаче равновесия жидкости в движущемся сосуде и использовать для их решения основное уравнение гидростатики.

6.1. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси

При равновесии жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси, поле массовых сил неоднородно. Поверхности уровня представляют параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью вращения сосуда.

Рис. 6.1

Уравнение поверхности постоянного давления в подвижных координатах (в частности, свободной поверхности жидкости), имеет вид

.

(6.1)

Высота параболоида свободной поверхности определяется по формуле

.

(6.2)

Давление в произвольной точке вращающейся жидкости определяется уравнением

,

(6.3)

где

– давление в точках параболоида свободной поверхности, координаты вершины которого .

По вертикали давление определяется глубиной расположения точки под параболоидом свободной поверхности , т.е. давление распределяется по гидростатическому закону

.

(6.4)

Значение координаты находят, как правило, из условия равенства объемов жидкости в состоянии покоя и при равномерном вращении

.

(6.5)

Уравнение свободной поверхности вращающейся жидкости легко получить из уравнения (6.3) при условии, что ,

.

(6.6)

6.2. Примеры решения задач

Пример 6.1

Открытый цилиндрический сосуд диаметром D = 0,04 м и высотой Н = 0,1 м наполнен до половины водой. С каким предельным числом оборотов можно вращать этот сосуд относительно его геометрической вертикальной оси, чтобы из него не выливалась вода?

Рис. 6.2

Решение

Свободная поверхность жидкости, вращающейся с угловой скоростью , имеет форму параболоида вращения и описывается уравнением (6.6), необходимо только учесть, что в покое высота слоя воды по условию задачи равна

.

(6.7)

При максимальной угловой скорости , . Тогда

.

(6.8)

Откуда находим

.

(6.9)

Пример 6.2

Закрытая цилиндрическая коробка высотой H и диаметром 2R наполнена жидкостью на высоты. С какой угловой скоростью должна вращаться коробка около ее вертикальной оси, чтобы параболоид вращения коснулся дна свободной поверхности?

Рис. 6.2

Решение

Вершина свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде имеет координату , которая определяется по формуле (6.5). Принимая во внимание, что в состоянии покоя уровень жидкости в сосуде равен , запишем

.

(6.10)

При касании вершины свободной поверхности дна сосуда . Угловая скорость вращения в этот момент равна

.

(6.11)

Высота параболоида свободной поверхности при такой скорости вращения определяется по формуле (6.2)

.

(6.12)

Пример 6.3

Вертикальный открытый сверху цилиндрический сосуд радиуса R и высотой H равномерно вращается вокруг вертикальной оси. делая n оборотов в минуту. Какой объем жидкости будет удерживаться в этом сосуде?

Рис. 6.3

Решение

Максимальный объем жидкости, удерживаемый в сосуде при вращении с угловой скоростью , определяется условием достижения верхней точкой свободной поверхности жидкости верхнего края боковой стенки. Формально это условие можно записать так (см. (6.2), (6.5))

,

(6.13)

где  высота жидкости в неподвижном сосуде

Решение уравнения (6.13) относительно дает следующий результат

.

(6.14)

Объем жидкости, находящейся в сосуде при угловой скорости вращения равен

.

(6.15)

Пример 6.4

Отливка чугунных полых цилиндров производится в форму, вращающуюся вокруг вертикальной оси. Отливка вращается, делая ; высота отливки H = 0,25 м; максимальный внутренний диаметр . Насколько толщина стенки цилиндра в нижней части будет больше, чем в верхней?

Найти число оборотов в минуту , которое следует сообщить форме, чтобы разница в толщине стенки была не более 0,01м.

Рис. 6.4

Решение

Внутренняя поверхность отливки во вращающейся форме представляет параболоид вращения. Различие в толщине стенки у нижнего торца (сечение ) и верхнего торца (сечение ) отливки определяется разностью координат точек свободной поверхности

.

(6.16)

Используя уравнение свободной поверхности (6.1), находим

.

(6.17)

Далее после очевидных преобразований получаем

,

(6.18)

что дает возможность определить разность в толщине стенок

.

(6.19)

Для определения угловой скорости, при которой разность в толщине стенки не превысит 0,01м, имеем условие

.

(6.20)

При

.

(6.21)

Тогда из формулы (6.17) следует

.

(6.22)

Число оборотов в минуту, обеспечивающее разность толщин стенки в верхней и нижней части цилиндра , равно

.

(6.23)

Пример 6.5

Рис. 6.5

Открытый цилиндрический сосуд наполнен водой и вращается с постоянной угловой скоростью . В результате вращения вода поднялась над дном сосуда на высоту H = 2 м. Определить манометрическое давление p на дне сосуда в центре и через каждые 20 см от его оси до стенки, а также расстояние от дна сосуда до вершины параболоида (точка А). Диаметр сосуда D =1,2 м, число оборотов сосуда .

Решение

Манометрическое давление в произвольной точке дна сосуда можно определить, используя формулу (6.3)

,

(6.24)

что при дает расчетную формулу

.

(6.25)

Так как , то, применяя формулу (6.2), находим

.

(6.26)

Подставляя (6.26) в (6.25), получаем

.

(6.27)

Расчет по формуле (6.27) дает следующие результаты

	(6.28)

Графически результаты расчета представлены на рис. 6.5.

Литература

1. Гидравлика и гидропневмопривод (задачник), под ред. проф. Ю.А. Беленкова. М., «ЭКЗАМЕН», 2009 – 286с.

2. Гориславец С.С. Сборник задач с примерами гидравлических расчетов по «Гидростатике», ООО « Издательский дом – Типография купца Тарасова», Пермский край, г. Березники, 2007г., 234 с.

3. Кудинов В.А., Карташов Э.М. Гидравлика. М., «Высшая школа», 2008 -199с.

4. Метревели В.Н.Сборник задач по курсу гидравлики с решениями. М., «Высшая школа», 2008 – 190с.

5. Примеры расчетов по гидравлике, под ред. А.Д.Альтшуля. М., «Стойиздат», 1976 – 255с.

6. Сазанов И.М. Гидравлика (конспект лекций). М., МГТУ «СТАНКИН», 2005 -190с.

7. Шейпак А.А. Гидравлика и гидропривод (учебное пособие, Ч I). Основы механики жидкости и газа. М., МГИУ, 2003 - 192с.

8. Штеренлихт Д.В. Гидравлика. М., КолоС, 2005 - 655с.

Оглавление

Основные физические свойства жидкости и газа ………………	3
Гидростатика ……………………………………. .………………	12
Давление жидкости на плоскую стенку ……….. .………………	21
Давление жидкости на криволинейную стенку …………………	32
Закон Архимеда. Плавание тел …………………..………………	44
Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси ………………………….………………	51
Литература …………………………………………………………	58