4. Давление жидкости на криволинейную стенку

Составляющие равнодействующей гидростатического давления на произвольную криволинейную стенку в общем случае определяются согласно следующим правилам

; ; ,

где : 𝛒 – плотность жидкости;

– заглубление центра проекции поверхности на плоскости перпендикулярные осям ;

– площади проекций стенки на плоскости перпендикулярные осям ;

-- объем тела давления (объем жидкости, расположенной над поверхностью в направлении оси ).

4.1. Сила давления жидкости на криволинейную цилиндрическую стенку

Задача определения равнодействующей сил гидростатического давления на цилиндрическую стенку имеет практическое значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такой поверхностью соприкосновения (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).

Для цилиндрической стенки, находящейся под односторонним воздействием покоящейся жидкости равнодействующую сил избыточного давления можно определить, зная ее составляющие по координатным осям (рис.4.1).

Очевидно, что

,

(4.1)

где

(4.2)

Если формулу (4.2) для составляющей переписать иначе

(4.3)

где - давление в центре проекции стенки на плоскость ;

- площадь проекции стенки на плоскость ,

а формулу для составляющей преобразовать к виду

(4.4)

где - объем жидкости, расположенный над поверхностью стенки, то можно сформулировать следующие правила:

• горизонтальная составляющая равнодействующей гидростатического давления, действующего на цилиндрическую стенку, может быть определена, как равнодействующая давления на вертикальную проекцию этой стенки на плоскость ;

• вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление, и торцевыми поверхностями (рис.4.2).

Рис. 4.1

Линию действия равнодействующей сил избыточного давления можно найти, если установить линии действия составляющих . Положение этих линий определяется координатами соответственно (рис. 4.1в).

Рис. 4.2

Для рассматриваемого случая расчетные формулы представлены ниже:

	(4.5)
	(4.6)

4.2. Примеры решения задач

Пример 4.1

Определить силу полного давления на секторный затвор и ее направление. Глубина воды перед затвором H = 4 м , длина затвора L = 8 м , .

Рис. 4.4

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды на секторный затвор ac равна силе давления воды на проекцию этого затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению

(4.7)

− гидростатическое давление воды в центре тяжести проекции секторного затвора на вертикальную плоскость, нормальную направлению ;

− глубина погружения центра тяжести проекции секторного

Тогда

(4.8)

Вертикальная составляющая силы давления воды на секторный затвор равна

весу воды в объеме фигуры длиной с торцевыми поверхностями abc

,

(4.9)

где − площадь фигуры abc.

Площадь фигуры abc

здесь − радиус затвора.

Значение вертикальной составляющей силы давления

(4.10)

Сила полного давления равна равнодействующей сил давления

.

(4.11)

Направление равнодействующей определяется углом

.

(4.12)

Пример 4.2

Определить силу давления воды на один метр ширины затвора ( ), перекрывающего канал между двумя смежными камерами, если глубина воды в левой камере , а в правой камере ; R = 4 м, а = 2 м,

Рис.4.5

Решение

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h1 направлена слева направо и равна

.

(4.13)

Горизонтальная составляющая силы давления воды на затвор со стороны уровня h2 определяется аналогично и имеет противоположное направление

.

(4.14)

Равнодействующая горизонтальных сил

.

(4.15)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды на заданную криволинейную поверхность со стороны уровня h1 действует вверх и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью при ширине затвора

.

(4.16)

Вертикальная составляющая силы полного давления воды со стороны уровня h2 действует вниз и равна весу воды в объеме, ограниченном по торцам площадью и направлена вниз

.

(4.17)

Следовательно, равнодействующая вертикальных сил будет равна весу воды в объеме с площадью поперечного сечения

,

(4.18)

где

Тогда находим

,

(4.19)

Сила полного давления воды на затвор равна сумме

.

Линия действия равнодействующей гидростатического давления должна проходить через ось цилиндрической поверхности. На рис. 4.5 она проходит через точку и составляет с горизонталью угол

.

(4.20)

Пример 4.3

Определить силу гидростатического давления воды на b=1 м ширины вальцевого затвора диаметром d=1,2 м при h1=1,2 м , h2 =0,5 м.

Рис. 4.6

Решение

Горизонтальную составляющую силы полного давления со стороны уровня h1

находим, как результирующую силу гидростатического давления на проекцию цилиндрической поверхности на плоскость перпендикулярную оси

.

(4.22)

Точка приложения силы может быть вычислена из условия равенства моментов относительно оси от составляющей гидростатического давления по оси и силы

(4.23)

Откуда получаем, что

(4.24)

Численные значения

, .

(4.25)

Горизонтальная составляющая силы полного давления со стороны уровня h2 и ее

точка приложения определяются аналогично

.

(4.26)

Проекция равнодействующей гидростатического давления на ось равна

.

(4.27)

Линия действия силы делит отрезок внешним образом на части обратно пропорциональные

.

(4.28)

Так как , находим

.

(4.29)

Далее получаем

(4.30)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h1 равна весу воды в объеме с торцевым сечением (площадь половины круга, ширина затвора )

.

(4.31)

Вертикальная составляющая силы полного давления со стороны h2 равна весу воды в объеме с торцевым сечением

(4.32)

где

Расчет по формуле (4.32) дает результат

.

(4.33)

Так как направлены в одну сторону и вверх, то их равнодействующая равна

.

(4.34)

Что бы определить положение линии действия равнодействующей , установим расположения линий действия сил и .

Рис. 4.7

Вертикальная равнодействующая гидростатического давления на поверхности (рис. 4.7) определяется по формуле

(4.35)

Знак минус указывает на то, что сила направлена вертикально вверх. Это совпадает с ранее полученным результатом.

Равнодействующая и элементарные силы гидростатического давления относительно начала координат ( точка ) должны создавать одинаковые моменты, что и позволяет найти координату , которая определяет положение линии действия силы

(4.36)

Аналогичные действия для гидростатического давления со стороны дают следующий результат

.

(4.37)

Следовательно, вертикальная составляющая равнодействующей гидростатического давления имеет значение

.

(4.38)

Положение линии действия силы легко найти по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Линия действия составляющей будет проходить на расстоянии , (см. рис. 4.7).

Координаты точки , и в плоскости симметрии затвора, определяют точку , через которую проходит равнодействующая гидростатического давления . Второй точкой, через которую должна пройти линия действия силы , будет точка на оси затвора. Это легко понять, если уяснить, что элементарные силы , действующие на площадке , образуют сходящуюся систему сил, линии их действия пересекаются в точке . Угол , который образует линия действия силы с осью , равен

.

(4.39)

Сила давления воды на затвор равна равнодействующей сил давления

.

(4.40)

Пример 4.4

Для отливки полого чугунного цилиндра с наружным диаметром D = 500 мм , внутренним диаметром d = 400 мм и длиной l =1000 мм в опоку укладывается горизонтальный стержень А диаметром d и длиной =1200 мм . Необходимо определить вес G верхней половины заливочного ящика , чтобы он не всплыл под действием давления жидкого чугуна с удельным весом , если удельный вес формовочной земли , а уровень верхнего края литника относительно оси стержня определяется высотой h=400 мм.

Рис. 4.8

Решение

При заливке литейной формы жидким чугуном верхняя часть заливочного ящика находится под воздействием силы тяжести , гидростатического давления на цилиндрической поверхности радиусом и длиной

,

(4.41)

силы давления всплывающего стержня , которая определяется разностью веса стержня и равнодействующей гидростатического давления (всплывая стержень действует на часть по поверхностям - см. рис. 4.8)

,

(4.42)

где .

Верхняя половина заливочного ящика не всплывет при условии

,

(4.43)

где ;

– равнодействующая гидростатического давления .

Равнодействующая гидростатического давления направлена вверх и равна

(4.44)

Для определения силы рассмотрим равновесие сил действующих на стержень , пренебрегая силами трения по его торцам

,

(4.45)

здесь – сила тяжести стержня ;

– равнодействующая гидростатического давления .

Вычисляем

(4.46)

Сила направлена вертикально вверх.

Вес стержня равен

.

(4.47)

Тогда находим

.

(4.48)

Теперь легко находим минимальный вес , при котором верхняя половина заливочного ящика не всплывет

.

(4.49)