2.1. Кіші сфералық үшбұрыштардың есептелу тәсілдері

Жалпы жағдайда сфералық үшбұрышты есептеу үшін, оның кем дегенде оның үш элементі белгілі болуы тиіс, яғни есептелу жүргізілетін сфераның радиусы белгілі болуы тиіс. Триангуляция үшбұрыштарында ереже бойынша төрт элементі белгілі болуы тиіс, олар: бір қабырғасы және үш бұрышы, сондықтан үшбұрыштарды сфералық тригонометричяның синустар теоремасын қолданып шешеді.

Демек сфералық үшбұрышта ABC барлық бұрыштары өлшенген және бастапқы қабырғасы s_АВ белгілі болса, онда:

(18)

, , (19)

м ұнда

, , , (20)

S- сызықтық өлшемдегі үшбұрыштың қабырғассы

R- сфераның қисық радиусы

р"- 206264.81"

Көріп отырғанымыздай, жазықтықтағы үшбұрыштар тәсілімен шешуден сфералық үшбұрыштарды шешу кезінде қосымша есептеулер қосылады:

I. үшбұрыштың қабырғасын сызықтық шамадан градустық шамаға ауыстыру

2. қалған қабырғаларын да градустық шамада есептеу

3. кері есеп жүргізу градустық шамадан сызықтық шамаға ауыстыру.

Егер сферада тұрақты қисық радиусы болса, онда есептеу кезінде жеңілдік болады. себебі f"/R, коэфициенттері (20) формуласында тұрақты болады. Референц-эллипсоид жазықтығында үшбұрыштарды есептеу үшін (18) - (20) формулаларын қолдану қолайсыз, себебі радиустың мәні R тұрақсыз өзгерісте болады, сондықтан (18) - (20) формулаларын қолдану тек референц-эллипсоидтың бір бөлігін шардың сырында деп алып қолданаты болса ғанаесептеуге болады. Гаусс теориясындағыдай эллипстың шардағы конформды [1] көрсетілуі сфералық жазықтықтың белдеуінде қолдануға болады, тек ендіктері <2,5 кіші болатын 250 км сәйкес параллелдермен шектелетін болса. Сондықтан, референц-эллипсоидтың үшбұрыштарының қабырғасы 250 км аспаса, сфералық деп санап, сфераның радиусына қатысты R, референц-эллипсоидтағы үшбұрыштың орташа ендігіне B_Q сәйкес келеді.

Сфералық арақашықтықтың шамалы өлшемін анықтайық

Определим предельную величину сферического расстояния

Демек, R= 5400 км, Sab =250 км, болса, алатынымыз

Есептелген шамадан алатынымыз, сфералық арақашықтық аз екені белгілі болады, сондықтан үшбұрыштың қабырғалары 250 км аспауы тиіс, шамамен (Ι8)-(20) формулаларына өзгерістер енгізілуі мүмкін; себебі сфералық үшбұрышты жазық тригонометриялық үшбұрыш формулалармен өлшеуге тура келді.

2.2. Кішісфералық үшбұрыштарды Лежандр тәсілі бойынша есептеу

Егер референц-эллипсоидтағы үшбұрыштың қабырғалары 250 км аспаса, онда мұндай үшбұрышыт сфералық үшбұрыш деп санап, тригонометриялық жазық үшбұрыштар формуласымен Лежандр теоремасын қолданып есептеуге болады.

Лежандр теремасы: егер сфералық үшбұрыштың қабырғалары АВС сәйкесінше жазық үшбұрыштың қабырғалары А'В'С' сәйкес болса, онда үшбұрыштың әрбір бұрышы сәйкесінше сфералық артықшылықтың үштен бір бөлігінің сфералық бұрышына тең болады.

Үшбұрыштың сфералық артықшылығы Е дегеніміз ол сфералық үшбұрыш пен жазық үшбұрыш арасындағы бұрыштардың қосындысы, демек

Е=(А+В+С)-180^{0 (21)}

Сфералық артықшылықтың өлшемі үшбұрыштың ауданы мен үшбұрыш орналасқан сфера радиусына қатысты болады, демек

(22)

мұнда Ρ - үшбұрыштың ауданы;

R. – сфера радиусы;

P - 206264, 81

Жалпы жағдайда сфералық артықшылықтың өсімшесі 0° <Е < 360°аралығында жатады, үшбұрыштың қабырғалары 250 км кіші болса Е< 136".

Үшбұрыштың ауданы келесі тәсілмен анықталуы мүмкін:

1. егер үшбүрыштың бір қабырғасы мен үш бұрышы белгілі болса, онда

(21)

мұнда А – бастапқы қабырғасы α бұрышына қарама қарсы болғанда;

2 . егер екі қабырғасы мен олардың арасындағы бір бұрышы белгілі болса, онда

(22)

мұнда А - b және с қабырғаларымен шектелген бұрыш;

3. егер үшбұрыштың үш қабырғасы белгілі болса, онда

(25)

мұнда

жоғарыда аталғандармен жазық үшбұрыштың бұрыштары төмендегі формулалармен анықталуы мүмкін:

,

Шарт бойынша жазық үшбұрыштың бастапқы қабырғасы сфералық үшбұрыштың бастапқы қабырғасына тең болуы тиіс.

Сондықтан, сфералық үшбұрышты Лежандр теоремасын қолданып есептеу үшін келесі амалдарды орындау қажет.

I.) үшбұрыштың сфералық артықшылығын (22) формуласымен есептеп шығару (23), (24), (25) формулаларын ескере отырып.

2) жазық үшбұрыштың қиыспаушылығын төмендегі формуламен есептеп шығарып

w=(A + B + C)- - 180° (27)

оны жіберілетін шамамен салыстыру қажет

Wgon = 2,5 m = 4,o m . (28)

3) егер алынған үшбұрыштың қиыспаушылығы (28) шартын қанағаттандырса, онда бақылау нәтижелері оң шамалы. Бұл жағдайда қиыспаушылық үшбұрыштың әр бұрышына тең шамада таратылады, яғни сфералық үшбұрыштары теңестіріледі.

(29)

4) жазық үшбұрыштың бұрыштары есептеледі

(30)

Көріп отырғанымыздағыдай (.29),(30) формулаларынан алатынымыз, сфералық артықшылықты лежандр тәсілімен анықтау арқылы алатынымыз тек үшбұрыштың жіберілетін қиыспаушылығының шамасын анықтау болады.

5) жазық үшбұрыштың бастапқы сфералық қабырғасы мен бұрыштарын А'В'С' қолданып, үшбұрыш жазық тригонометрия формулаларымен анықталады, демек:

(31)

Сондықтан, сфералық үшбұрыш жазық тригонометрия формулаларымен есептеледі.