Коэффициенты центральной регрессии интервалов между нулями входных реализаций сигналов

В АИС часто возникает задача распознавания сиг­налов по абсолютной ширине полосы энергетического спектра при  << 0,1 (П.4.2, П.4.3).

Для этого возможно осуществить преобразование частоты и сместить спектр сигнала в область более низких частот так, чтобы  лежала в пределах 0,1 <  < 1.

Но преобразование частоты входного сигнала при большом динамическом диапазоне и невозможности в ближней локации применения инерционной автоматической регулировки усиления (АРУ), задача довольно сложная. Поэтому предлагается регресси­онно (П.4.2) обрабатывать последовательности из n интервалов между нулями входной реализации.

Рассмотрим последовательность интервалов времени t₁, t₂, ... t_k, включающие по n-интервалов между нулями случайной реали­за­ции x(t). Согласно тому, что количество нулей узко­полос­ного процесса {x(t)} совпадает с количеством нулей cos[₀ t + (t)] [14], запишем

откуда получим

или

Центрированные случайные величины примут вид

где _T1 и _T k – математические ожидания случайных величин.

Для узкополосного стационарного случайного процесса

поэтому

Ковариационный момент центрирования случайных величин и запишем как

или

. (2.63)

Аналогично можно получить выражение для ковариационного момента любых T_i и T_k.

Дисперсию случайного параметра T определим из равенства (2.63) при i = k

Коэффициент центральной регрессии (КЦР) последовательно­сти интервалов времени T_k, включающие по n-интервалов между нулями случайной реализации x(t) запишется

или в общем виде с учетом равенств (2.54), (2.63)

(2.64)

Вводя обозначения , можно записать, что

где – КЦР соседних интервалов между нулями преобра­зо­ван­ного сигнала.

Из соотношения '/ = n, где ' – относительная полоса пре­об­разованно­го сигнала и (2.54), следует, что КЦР интервалов между нулями преобра­зо­ван­ного сигнала (2.64) совпадает с коэффициентом центральной регрессии ин­тер­валов T₁ и T_k исход­ного сигнала.

а

б

Рис. 2.7. Коэффициенты центральной регрессии для прямоугольного (а) и гауссового (б) спектров

На рис. 2.7 приведены КЦР для прямоугольного а и гауссо­вого б спектров в зависимости от относительной полосы энер­ге­ти­че­ского спектра сигналов. На основании изложенного, те же зна­че­ния могут быть получены для интервалов времени T₁ и T₂ (2.64). Поэтому для распознавания узкополосных сигналов с  << 1 могут быть применены регрессионные алгоритмы (П.4.2), в которых обрабатываются центрированные параметры сиг­налов на интервалах T₁ и T₂.

Статистические характеристики отсчетов огибающих узкополосных случайных процессов

Часто в АИС, например акустических и сейсмических, входные сигналы являются случайными процессами с неизвестной средней частотой энергетического спектра и информация о свойствах объек­тов заключена в статистических характеристиках огибающих входных реализаций. Поэтому в ИС необходимо выделять ин­формативные параметры огибающих и вычислять статистики, ин­вариантные к средней частоте энергетического спектра.

Ниже рассмотрены статистические характеристики отсчетов огибающих узкополосных случайных процессов, взятых с помо­щью сопряженных им по Гильберту процессов.

Общую аналитическую зависимость стационарного в широком смысле узкополос­ного случайного процесса представим в виде

x(t) = E(t) cos [₀t + (t)],

где E(t) – огибающая; ₀ – средняя частота; (t) – случайная фаза.

На основании [14] автокорреляционная функция (АКФ) оги­ба­ющей E(t) узкополосного стационарного нормального случай­ного процесса может быть представлена как

(2.65)

где  ² – дисперсия исходного узкополосного случайного процес­са; r₀() – огибающая нормированной АКФ; K[r₀()], E[r₀()] – пол­ные эллиптические интегралы первого и второго рода соот­ветственно.

Первый член в (2.65) равен квадрату постоянной составляю­щей огибающей E(t)

(2.66)

Из (2.65) следует, что среднее значение квадрата огибающей E(t) равно

а дисперсия огибающей E(t) будет

Используя (2.65), (2.66), можно найти нормированную АКФ оги­бающей узкополосного нормального случайного процесса

(2.67)

Как показали расчеты АКФ по формуле (2.67) с учетом (2.65), для большинства практических случаев можно ограничиться пер­вым членом в квадратных скобках (2.67), т. е.

(2.68)

Чтобы устранить влияние нестационарности входного процес­са {x(t)}, обусловленное изменением средней частоты ₀ на от­сче­ты АКФ, будем производить отсчеты с помощью сопряженного ему по Гильберту процесса {y(t)} (рис. 2.8).

(2.69)

Рис.2.8. Получение отсчетов огибающей

Как видно из рис. 2.8 при y(t_i ) = 0 и x(t_i ) = E(t_i ) =

= (–1)ⁿE _i . Таким образом, для получения отсчетов оги­бающей E _i необходимо производить отсчеты реали­зации x(t) в моменты перехода через ноль сопряженного по Гиль­берту про­цес­са y(t). Реализации сопряженных процессов можно получить на выходах широкополосного фазорасщепителя со сдви­гом фаз на 90.

Моменты времени, в которые берутся отсчеты, разделены ин­тервалами

_i k, где

_i k = 

На основании П.2.9 дисперсия интервалов _i k равна

(2.70)

где   – значение корреляционной функции фазы при сдвиге |i – k| /₀; – величина дисперсии фазы [ 14 ].

Для удобства обозначим i – k = n, тогда математическое ожи­дание интервалов между отсчетами на основании (2.45) равно

(2.71)

и нормированный коэффициент корреляции отсчетов огибаю­щей, разделенных интервалами _i k, получим в виде

(2.72)

где (_i k) – плотность распределения вероятностей случайной вели­чины _i k.

Разложим функцию r_E (_i k) в ряд Тейлора в районе точки |i – k| /₀, ограничи­ваясь первыми тремя членами разложения

(2.73)

где определяется из выражения (2.71).

Подставив выражение (2.72) в (2.73), получим:

(2.74)

На основании (2.68) будет иметь вид

(2.75)

Тогда в соответствии с П.2.8 получим интересующие нас значе­ния r₀(), выраженные через значения n относительную полосу час­тот  для прямоугольного и гауссова энергетических спектров соот­ветственно

(2.76)

(2.77)

Подставив выражения (2.76) и (2.77) в равенство (2.75), полу­чим нормированные АКФ (2.74) огибающей узкополосного случайного процесса для прямоугольного и гауссового энергетических спек­тров, выраженные через относительную ширину полосы энерге­тического спектра процесса  и количество интервалов между от­счетами АКФ огибающей n.

На основании (2.74) с учетом (2.68)–(2.70) и (2.75)–(2.77) мож­но сделать вывод, что значения нормированных коэффициентов корреляция отсчетов узкополосного нормального случайного про­цесса, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процес­са, зависят от относительной ширины полосы энергетического спе­кт­ра процесса  и количества интервалов между нулями, разде­ляющих эти отсчеты n, а также от вида энергетического спектра, и не зависят от средней частоты энергетического спектра входно­го процесса.

а

б

Рис.2.9. Зависимости коэффициентов корреля­ции отсчетов огибающей, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процесса от относительной ширины полосы энергети­ческого спектра процесса  при сдвигах n между отсчетами

а- n=1, б- n=5

На рис. 2.9 приведены зависимости коэффициентов корреля­ции отсчетов огибающей, взятых с помощью сопряженного по Гильберту процесса от относительной ширины полосы энергети­ческого спектра процесса  и значениях сдвига n, равных одному на рис. 2.9,а и пяти интервалам – на рис. 2.9,б между нулями для гауссова и прямоугольного спектров.

а

б

Рис.2.10. Зависимости АКФ огибающей от относительной ширины полосы энергети­ческого спектра процесса  при сдвигах n между отсчетами а- n=1,б- n=5

На рис. 2.10 приведены зависимости отсчетов АКФ огибающей от относительной ширины полосы энергетического спектра про­цесса  и значениях сдвига n, равных одному на рис. 2.10,а и пяти интервалам на рис. 2.10,б между нулями для гауссова и прямо­угольного спектров.

Анализ данных графиков показывает, что до значений , рав­ных 0,7–0,8, коэффициенты корреляции отсчетов, взятых по пред­ложенной методике, практически совпадают со значениями отсчетов АКФ огибающей. Таким образом, отсчеты огибающей, выделенные с помощью сопряженного по Гильберту процесса, могут быть использованы в качестве информативных параметров, инвариантных к средней частоте сигнала.