Длительностью

Тогда количество отсчетов на интервале будет (N+1), где , а интервал дискретизации , т. е. в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал (рис.2.3), производится выборка из отдельной реализации х(t) случайного процесса с непрерывным временем. Выбор (q+1) – го отсчета в ка­честве первого, а N – го отсчета в качестве последнего определяется спецификой систем ближней локации.

Пусть – численные значения реализа­ции в точках при . Точка , соответствую­щая m – му отсчету, задается при вычислении скользящих оценок и, если п принимает значения от 1 до N, а не от 0 до (N – 1), в даль­нейшие формулы не входит.

Оценки начальных моментов взаимо – и авторегрессионных функций могут быть получены по формулам:

при ;

,

где r – номер шага; k – макcимальное число шагов;

;

; (2.41)

, (2.42)

где и – несмещенные оценки взаимо – и авторегрессионных функций.

Для оценки регрессионных характеристик, осредненных на ин­тервале принятия решения Т при необходимо выбрать равным моменту срабатывания определяемому требова­ниями эффективности системы ближней локации.

Для получения доверительных интервалов оценок по формулам (2.41) и (2.42) нельзя воспользоваться зависимостями (2.38) и (2.39), так как при дискретизации по Котельникову случайного процесса (за исключением полосового белого шума) отсчеты или оказываются в общем случае коррелированными, кроме того, очень часто интервал дискретизации выбирается меньше требуе­мого.

Однако если экспериментально удается определить время кор­реляции процесса, то приблизительно объем выборки некоррелиро­ванных отсчетов можно считать равным

,

тогда на основании выражений (2.36), (2.37) и (3.39) для нор­мальных случайных процессов

. (2.43)

Доверительные интервалы для и при можно определить как

,

.

Иногда достаточно оценить лишь дисперсию .

На основании П2.6 дисперсия .

Используя для оценку , получаем

,

где определяется по равенству (2.43).

Коэффициенты начальной регрессии интервалов между нулями стационарных случайных процессов

Для параметрических оценок в нелинейных регрессионных системах обнаружения и распознавания узкополосных случайных процессов необходимо установление зависимости коэффициентов начальной регрессии (КНР) параметров процесса от его основных характеристик, в частности от параметров энергетического спектра случайного процесса.

Исследуется связь КНР длительностей интервалов между нулями узкополосного стационарного в широком смысле случайного процесса с его энергетическим спектром.

Узкополосный стационарный в широком смысле случайный процесс может быть представлен аналитической зависимостью

,

где Е(t) – огибающая случайного процесса ; – случайная составляющая полной фазы процесса; – средняя частота энергетического спектра процесса.

Рассмотрим последовательные моменты времени прохождения через нуль случайной реализации х(t) (рис.2.4). Количество нулей узкополосного случайного процесса совпадает с количеством нулей , поэтому, полагая

,

получаем

,

откуда

.

Рис.2.4. Отрезок реализации узкополосного случайного процесса

Рассмотрим нецентрированные случайные величины:

, , (2.44)

где и – математические ожидания случайных величин. Для узкополосного стационарного случайного процесса

, (2.45)

поэтому

.

Ковариационный момент центрированных случайных величин

и можно записать как

, (2.46)

где – корреляционная функция случайной фазы про­цесса . (В (2.46) усреднение осуществляется по случайной фазе и по случайному интервалу между нулями стацинарного случайного процесса.)

Для рассматриваемого стационарного процесса

(2.47)

и определение ковариации параметров и сводится к вычисле­нию суммы слагаемых вида . Для непрерывных случай­ных величин можно записать

, (2.48)

где – плотность распределения вероятностей случайной величины .

Предполагая непрерывность и дифференцируемость корреля­ционной функции фазы для процесса в окрестности , ее можно разложить в ряд

,

где – первая производная по в точке .

Ограничиваясь первыми двумя членами в разложении и под­ставляя в выражение (2.48), получаем

. (2.49)

В уравнении (2.49) второе слагаемое равно нулю, поэтому

. (2.50)

Тогда с учетом выражений (2.44), (2.47) и (2.50) выражение (2.46) для ковариационного момента параметров и приводим к виду

. (2.51)

Аналогично можно получить выражение для ковариационного момента любых и интервалов между нулями стационарного случайного процесса:

(2.52)

Дисперсию случайного параметра определим из равенства (2.52) при l=k

. (2.53)

Тогда коэффициент начальной регрессии интервалов между нулями узкополосного случайного процесса на основании выраже­ния (2.22) с учетом равенств (2.45) (2.52) и (2.53) будет иметь вид

. (2.54)

Из уравнения (2.54) следует, что для нахождения необ­ходимо определить корреляционную функцию при фиксиро­ванных значениях аргумента

, . (2.55)

Выражение для может быть получено в виде степенного ряда по [14]

, (2.56)

где – – функция; – огибающая нормированно­го коэффициента корреляции случайного процесса ; .

Причем

;

,

где – энергетический спектр случайного процесса .

При прямоугольном энергетическом спектре с шириной полосы

определяется выражением

. (2.57)

Если спектральная плотность случайного процесса аппрокси­мируется гауссоидой

^,

где ,

то выражение для имеет вид

. (2.58)

Обозначим относительную ширину энергетического спектра , тогда интересующие значения в соответствии с ра­венствами (2.57) и (2.58) получим в виде:

для прямоугольного энергетического спектра

; (2.59)

для гауссова спектра

. (2.60)

Коэффициент р определяется из равенства (2.55).

Из выражений (2.59) и (2.60) видно, что корреляционная функция случайной фазы (2.56), а, следовательно, и КНР длительностей интервалов между нулями (2.54) при значениях аргумента, определяемых уравнениями (2.55), для каждого из рассмотренных видов энергетических спектров являются функциями только отно­сительной ширины полосы энергетического спектра и не зависят от средней частоты .

В доплеровских системах ближней локации относительная ши­рина полосы доплеровского сигнала, при прочих равных условиях, не зависит от относительной скорости, т. е. от средней частоты , а определяется пространст­венно–геометрическими свойствами объектов и параметрами приемопередающего тракта [16]. При перемещении объекта в диаграм­ме направленности происходит изменение средней частоты в спект­ре доплеровского сигнала, при этом для каждого значения средней частоты относительная ширина полосы постоянна .

Предположим, что скорость изменения доплеровской частоты мала по сравнению с , обозначим среднюю частоту на интервале между нулями и среднюю частоту на интервале . В [16] показано, что для такого процесса при усреднении по множеству реализаций коэффициент начальной регрессии будет определяться относительной шириной полосы стационарного процесса и зависеть от скорости изменения средней частоты на интервалах и

.

а б

Рис. 2.5. Зависимость коэффициента начальной регрессии интервалов между ну­лями стационарного процесса от относительной ширины полосы гауссова энерге­тического спектра (а) и прямоугольного энергетического спектра (б)

Рис. 2.6. Зависимость корреляционной функции фазы от относительной