Случайные процессы как модели сигналов и помех

Физическая природа реальных сигналов и помех может быть различ­ной: радиоволны в радиолокации, радиосвязи, радиоастрономии, приводя­щие к возникновению электрических сигналов в СПР; дробовый эффект в электронных приборах и тепловое движение заряженных частиц в электри­ческих цепях, обусловливающие собственный шум входных цепей радио­технических устройств; световые волны в астрономии и лазерной локации, акустические колебания, сейсмические волны в сейсмологии и т.д.

Однако, несмотря на разнообразие сигналов (помех), существует класс математических моделей, охватывающих главные и общие свойства реальных процессов и пригодных для описаний сигналов различной физи­ческой природы. Такой класс составляют случайные функции. Существуют различные способы определения случайных функций. В прикладных зада­чах большое распространение получил способ, основанный на понятии случайной величины. При этом под случайной функцией понимается се­мейство случайных величин x(t) , зависящих от параметра t , принимающего произвольное множество значений на интервале наблюдения Т.

При каждом конкретном фиксированном значении аргумента , случайная функция является случайной величиной . Чаще всего в СПР параметр t (дискретный или непрерывный) интерпретируется как время, тогда случайная функция есть случайный процесс с дискретным или непрерывным временем. В статистической радиотехнике широко применяется разложение исследуемых функций в ряды по некото­рым известным (стандартным) ортогональным функциям времени. Одним из таких разложений является разложение по Котельникову для функции x(t) имеющий ограниченный частотами 0– спектр.

В СПР функции x(t) с ограниченным спектром рассматриваются только в течение конечного интервала Т, для таких сигналов может быть применено приближенное разложение по Котельникову.

Пусть x(t) непрерывный в среднеквадратическом и стационарный в широком смысле случайный процесс, энергетический спектр которого непрерывен и тождественно равен нулю вне полосы частот (где – частота среза). Для такого процесса выполняются равенства (2.3), (2.4) .

Этот случайный процесс с ограниченным спектром полностью определяет­ся множеством случайных величин , где , а на ограниченном интервале времени Т m– отсчетами, где .

Случайный процесс при указанных ограничениях представляет сумму квазидетерминированных процессов вида

.

Иногда интервал между соседними значениями случайной функции выбирают не из ширины спектра, которую полагают бесконечной, а из ее интервала корреляции , т.е. полагают . В этом случае разложение в ряд справедливо, если этот интервал много меньше интервала наблюдения T , т.е. при

.

Однако в общем случае координаты случайного процесса , выби­раемые согласно теореме Котельникова, являются коррелированными. Кроме того, использование этих координат ограничено условиями ста­ционарности в широком смысле.

При описании случайного процесса на основе, понятия совокупности случайных величин естественно и теоретико–вероятностное описание его строить на основе вероятностного описания величин, т.е. с использованием многомерных законов распределения, или, например, при решении за­дач в рамках корреляционной теории, матриц корреляционных моментов.

Во многих случаях для получения статистических выводов о характе­ристиках случайного процесса целесообразно представить его в виде суммы элементарных функций

,

где – координатная функция; – центрированная случайная величина.

Полное вероятностное описание случайного процесса при помощи конечномерных распределений и матриц корреляционных моментов воз­можно для процессов с дискретным временем, когда процесс представ­ляет собой конечную последовательность случайных величин (например, в импульсных системах ближней локации). В остальных случаях в рам­ках конечномерных распределений нельзя описать процесс полностью.

Однако, рассматривая конечный интервал наблюдения и выбирая точки достаточно близко одна от другой при большом n можно аппроксимировать процесс последова­тельностью случайных величин. В этом случае при описании процесса можно ограничиться конечномерными распределениями или матрицами кор­реляционных моментов в зависимости от решаемой задачи.

Все реальные системы принятия решений и измерительные приборы, при помощи которых исследуются статистические характеристики сигна­лов, имеют конечную полосу. Поэтому при теоретических исследованиях сигналов целесообразно ограничить их полосу и воспользоваться прибли­женным разложением по Котельникову.

Одной из распространенных математических моделей случайных процессов является гауссовский (нормальный) случайный процесс, отсчеты которого для любой совокупности моментов времени подчиняются многомерному нормальному закону распределения вероятностей

,

где – матрица ковариационных моментов отсчетов и ; = ; и – центрированные величины; – математическое ожидание i–го отсчета; = – матрица, обратная матрице ковариационных моментов.

При представлении стационарного случайного процесса с автоковариационной функцией дискретными отсчетами с интервалом дискретизации , элементы ковариационной матрицы могут быть получены из

,

где i и k – номера отсчетов.

В качестве примера рассмотрим m – мерное распределение вероятнос­тей для нормального белого полосового шума , имеющего постоян­ную спектральную плотность в полосе частот , равную

= = ,

где – дисперсия шума со средним значением =0 и плотностью распределения вероятностей

. (2.13)

Нормированная автокорреляционная функция полосового белого шума может быть найдена как преобразование Фурье от действительной спектральной плотности:

. (2.14)

Из (2.14) видно , что отсчеты полосового белого шума, разделенные интервалом , некоррелированы между собой. Следовательно, при представлении такого шума рядом Котельникова вида (2.3) отсчеты шума, входящие в этот ряд, следует считать некоррелированными.

Таким образом, в случае нормального белого шума с ограниченной полосой отсчеты , взятые по Котельникову, являются статистически независимыми величинами и m – мерная плотность распределения вероят­ностей равна произведению одномерных вероятностей:

. (2.15)

В соответствии с выражениями (2.13) и (2.15) можно записать

, (2.16)

где , – длительность реализации.

Учитывая теорему энергий для разложения по Котельникову,

Э= ,

выражение (2.16) можно представить в виде

. (2.17)