8. Преобразовать выражение к виду, позволяющему использовать 2 замечательный предел.

. Операции с пределами обобщим в виде таблицы
Операции			Результат операции
Сумма
			(неопределённость)
Произведение
			(неопределённость)
Частное
			(неопределённость)
			(неопределённость)
Степень
			(неопределённость)
			(неопределённость)
			(неопределённость)

Два замечательных предела
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Наиболее часто встречающиеся пределы
1.		2.
3.		4.

Пример 1. Найти .

Решение.

Пояснение. Непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при х→∞ не имеют конечных пределов. Имеем неопределенность вида ∞/∞. Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в наивысшей степени, т.е. на х⁴ . Получим функции , которые являются бесконечно малыми при х → ∞, и поэтому их пределы равны нулю.

Вообще предел отношения двух многочленов при :

Пример 2. Найти .

Решение. Здесь имеется неопределенность вида 0/0. Дня ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на сопряжённый множитель: , тогда в числителе получим разность квадратов: и при х-1≠0 дробь становится сократимой и имеющая смысл при х=1. Таким образом,

Пример 3 .Найти .

Решение. Вычислим : Убедившись, что при функция, представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности (случай ), далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-ой замечательный предел.

1) Представим в виде .

Пусть Итак,

2) .

3) =

Пример 4. Найти .

Решение. Вычислим: , т.е. неопределённость типа .

Воспользуемся 1-ым замечательным пределом.

а) Раскрытие неопределенности при вычислении предела в дробно рациональной функции.