§ 4. Типы граничных условий на поверхности тела

Из предыдущего видно, что решение задачи теории упругости любым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия диктуют задание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.

Первая краевая задача — кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности определенные значения. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемещений на этой поверхности.

Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задаются уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения (4.2).

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, краевые условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности.

Третья краевая задача — смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой — статические.

Этими тремя задачами не исчерпывается, однако, все разнообразие краевых условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

§ 5. Методы решения задачи теории упругости

Можно указать три основных метода математического решения задачи теории упругости:

1. Прямой м е т од. Он заключается в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными условиями на поверхности.

2. Обратный м е т о д. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с помощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, которым должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых трудностей. Полуобратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задачи теории упругости.

Лекция 6 глава V. Простейшие задачи теории упругости § 1. Чистый изгиб прямого призматического бруса

Простейшими называются задачи теории упругости, в которых напряжения являются линейными функциями координат или постоянны по всему объему тела. При этом уравнения неразрывности деформаций удовлетворяются тождественно, так как в них входят вторые производные от напряжений.

Схема прямого призматического бруса изображена на рис. 12. Ось z направлена вдоль оси бруса, а оси х и у являются главными центральными осями инерции сечения. Пары сил с моментом М₀ приложены к торцам бруса в главной плоскости хОz.

Рис. 12

Задачу будем решать обратным методом в напряжениях. Из курса сопротивления материалов известно, что в случае чистого изгиба в поперечном сечении бруса возникает напряженное состояние со следующими составляющими:

σ₂ =М₀ х/J_у

σ_х= σ_у= τ_ху = τ_yz = τ_zx =0 (5.1)

где х — расстояние рассматриваемой точки поперечного сечения до нейтральной оси у; J_у —момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Проверим, возможно ли существование такого напряженного состояния с точки зрения теории упругости и соответствует ли оно чистому изгибу. Подставив значения напряжений (5.1) в дифференциальные уравнения равновесия (4.1), получим

X = 0, Y = 0, Z = 0,

т. е, условия равновесия удовлетворяются при отсутствии объемных сил или в случае, когда они настолько малы, что их можно не принимать во внимание.

Уравнение неразрывности деформаций (4.12) проверять не нужно, так как задача относится к простейшим (напряжения зависят от координат линейно).

Переходим к условиям на поверхности (4.2). После подстановки в них нулевых значений напряжений (5.1) получаем:

Xν = 0, Уν = 0, Zν = _zn. (a)

Рассмотрим граничные условия на боковой поверхности бруса. Так как нормаль к ней во всех точках перпендикулярна оси z, направляющий косинус n = 0, Тогда из условий (а) находим, что Xν = 0, Уν = 0, Zν = 0, т. е. боковая поверхность бруса свободна от напряжений.

На правом торце направляющий косинус n = 1, так как нормаль к нему параллельна оси z. После подстановки в условия (а) значений косинуса и напряжения _z из формул (5.1) получаем составляющие поверхностной нагрузки на правом торце:

.

Убедимся, что эти составляющие сводятся к паре сил с моментом М₀, для чего найдем их равнодействующие,

Проекция торцовых нагрузок на оси х и у тождественно равна нулю, а проекция на ось z дает нормальную силу

так как последний интеграл представляет собой статический момент площади торцового сечения относительно центральной оси у и, следовательно, равен нулю.

Момент нагрузок на торце относительно оси z тождественно равен нулю. Подсчитаем момент этих нагрузок относительно оси х:

Последний интеграл, представляющий собой центробежный момент инерции площади торцового сечения относительно главных осей х и у, равен нулю и, следовательно, Мх = 0.

Момент нагрузок на торце относительно оси у

Поскольку последний интеграл представляет собой момент инерции площади торцового сечения относительно оси y, то Му = М₀. Следовательно, нагрузки на правом торце приводятся к паре сил с моментом М₀ в плоскости хОz. Такой же вывод можно получить, рассматривая условия на левом торце.

Таким образом, напряжения (5.1) удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Следовательно, их существование возможно и они соответствуют чистому изгибу. При этом пары сил на торцах должны быть распределены по тому же закону, что и напряжения _z. Если же приложение этих пар будет иным, то и распределение напряжений _z не будет следовать закону (5.1). Оно окажется более сложным и переменным по длине бруса. Однако на основании принципа Сен-Венана при любом законе распределения момента М₀, приложенного к торцу бруса, напряжения _z будут отличаться от закона (5.1) только в непосредственной близости от торца, по всей же остальной длине бруса закон распределения напряжений будет практически соответствовать формулам (5.1).

Для полного решения задачи определим деформации и перемещения. Подставим значения напряжений (5.1) в формулы закона Гука (4.5), В результате получим

(5.2)

Здесь для сокращения записи использована известная из курса сопротивления материалов связь между изгибающим моментом и кривизной изогнутой оси бруса при чистом изгибе:

где  — радиус кривизны.

Для определения составляющих перемещений подставим выражения деформаций (5.2) в формулы (4.3):

Интегрируя три первых уравнения (б), находим:

Где f(y,z), φ(z,x) и ψ(x,y) -произвольные функции.

Функции (в) должны удовлетворять трем остальным уравнениям (б), поэтому, подставляя эти функции в указанные уравнения, получаем

(г)

Для разделения входящих сюда функций продифференцируем последовательно эти три уравнения по координатам x, у, z. В результате получим следующие девять уравнений:

(д)

Из трех последних уравнений сложением и вычитанием находим:

(е)

Анализируя производные (д) и (е), устанавливаем, что функции φ и ψ должны быть линейными, а функция f — квадратичной:

(ж)

где а_i - произвольные постоянные. Часть из них связана между собой. После подстановки функций (ж) в уравнения (г) находим:

Учитывая эти равенства и внося функции (ж) в соотношения (в),

Получаем

(5.3)

Остальные шесть произвольных постоянных определяются из условий закрепления бруса.

Рассмотрим случай, когда брус жестко защемлен в начале координат. Это значит, что в указанной точке осуществлено такое закрепление, при котором невозможны поступательные перемещения вдоль координатных осей и невозможен поворот вокруг этих осей. Математические условия отсутствия поступательных перемещений точки в начале координат сводятся к следующим:

при х = у = z = 0, u = v = w = 0. (з)

Для закреплений бруса от вращения вокруг начала координат необходимо, чтобы любые два из трех элементов dx, dy и dz (см. рис. 12) у начала координат оставались неподвижными. Угол поворота отрезка dz относительно оси у в плоскости xOz согласно соотношению (2.2) равен du/dz. Аналогично, угол поворота отрезка dz относительно оси х в плоскости уОz равен dv/dz, а угол поворота отрезка dy относительно оси г в плоскости хОу — du/dy. Закрепляя стержень от указанных поворотов, получаем еще три условия:

при (и)

Из условий закрепления (з) и (и) находим

После этого составляющие перемещений (5.3) принимают вид

(5.4)

Таким образом, задача о чистом изгибе прямого призматического бруса произвольного поперечного сечения полностью решена. Формулы (5.1) позволяют подсчитать напряжения, формулы (5.2) — деформации, а формулы (5.4) — перемещения в любой точке бруса.

Исследуем форму продольной оси бруса в случае чистого изгиба. При х = у = 0 из формул (5.4) получаем уравнение изогнутой оси бруса

Следовательно, после деформирования ось бруса искривляется по квадратной параболе в плоскости действия изгибающего момента, т. е. имеет место плоский изгиб. Тангенс угла наклона касательной к оси бруса в произвольном сечении z=z₀.

Исследуем характер деформирования поперечного сечения z=z₀. Уравнение поверхности этого сечения после деформирования имеет вид

Подставляя сюда значение составляющей перемещения ад из формул (5.4), получаем

(к)

Это уравнение плоскости, параллельной оси у. Таким образом, плоское поперечное сечение бруса остается плоским и после деформирования. Тангенс угла наклона плоскости поперечного сечения после деформирования получим дифференцированием уравнения (к) по координате z:

Перемножая тангенсы, находим

Полученное уравнение представляет собой условие перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, поперечное сечение при чистом изгибе остается после деформирования не только плоским, но и нормальным к оси бруса. Гипотеза плоских сечений, вводимая в сопротивлении материалов, в этом случае оправдывается полностью, Исследуем форму контура поперечного сечения после деформирования, если до этого он имел очертания прямоугольника ABCD (рис. 13).

После подстановки сюда функции v из формул (5,4) получаем уравнение прямых A'D' и В'С' повернутых относительно точек N и М с координатами х = 0, у = ±b/2:

Переходим к рассмотрению верхней и нижней сторон сечения, После деформирования их уравнение

Подставляя сюда значение функции и из формул (5.4), находим

Это уравнение парабол A'В' и C’D', изображенных на рис, 13. Верхняя часть сечения соответствует сжатым продольным волокнам, нижняя — растянутым.