§ 2. Объемная деформация
В общем случае деформирования объем тела изменяется. Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед объемом dV=dxdydz. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка можно считать, что изменение этого объема связано только с изменением длины ребер, но не с угловыми деформациями.
Длина ребра АВ (см. рис. 11), первоначально равная dx, после деформирования согласно формуле (2.1) составит
.
Воспользовавшись первым уравнением (2.3), получим.
. (2.4)
Аналогично вычисляются длины двух других ребер после деформирования:
. (2.5)
Объем параллелепипеда после деформирования найдем как произведение новых длин ребер:
.
Раскрывая скобки, получаем
Пренебрегая в скобках величинами второго и третьего порядков малости и учитывая, что dxdydz = dV находим
Обозначая относительное изменение объема (dV1 — dV)/dV через θ, получаем
. (2.6)
Таким образом, объемная деформация равна сумме линейных деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
С помощью уравнений (2.3) объемную деформацию можно выразить через составляющие перемещения:
. (2.7)
§ 3. Уравнения неразрывности деформаций
Геометрические соотношения Коши (2.3) связывают шесть составляющих деформации εх, εy εz xy yx yz и три составляющих перемещения u, v, w. Если заданы три составляющих перемещения, то шесть составляющих деформации определяются из этих уравнений однозначно, т. е. заданным трем составляющим перемещения соответствует единственная система шести составляющих деформации.
Если же заданы шесть составляющих деформации, то для определения трех составляющих перемещения необходимо проинтегрировать шесть дифференциальных уравнений (2.3) в частных производных. При произвольном выборе составляющих деформации шесть уравнений с тремя неизвестными не всегда могут быть решены однозначно. Поэтому между шестью составляющими деформации должны существовать определенные зависимости. Чтобы вывести эти зависимости, необходимо исключить составляющие перемещения из уравнений (2.3). Первое из уравнений (2.3) дважды продифференцируем по у:
.
а второе — дважды по х:
и полученные результаты сложим:
. (а)
Выражение, стоящее в скобках, согласно уравнениям (2.3), определяет угловую деформацию xy. Тогда вместо соотношения (а) получим
(б)
Аналогично можно установить зависимость между деформациями и в двух других координатных плоскостях:
(в)
Уравнения (б) и (в) показывают, что если заданы две линейные деформации во взаимно перпендикулярных направлениях, то угловую деформацию в плоскости этих линейных деформаций нельзя задать произвольно.
Трех уравнении (б) и (в) оказывается недостаточно для обеспечения однозначности перемещений, так как они получены дифференцированием. При дифференцировании порядок дифференциального уравнения повышается и возможно появление новых решений, не удовлетворяющих первоначальному уравнению. Чтобы не получалось неприемлемых решений, необходимо иметь дополнительные условия.
Продифференцируем три последних уравнения (2.3) следующим образом:
Сложим две первые строки и вычтем третью:
.
Продифференцируем это выражение еще раз по у и, учитывая, что
.
получим
.
(г)
Аналогично можно получить еще два уравнения:
(д)
Эти уравнения свидетельствуют о том, что если заданы три угловые деформации в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, то линейные деформации не могут быть заданы произвольно.
Итак, получена следующая система уравнений:
(2.8)
Необходимость существования полученных зависимостей можно обосновать и геометрическим путем. Представим себе тело разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольные деформации, то из отдельных деформированных параллелепипедов не удастся вновь сложить непрерывное твердое тело: в некоторых точках после деформирования возникнут бесконечно малые разрывы. Уравнения же (2.8) устанавливают такие зависимости между составляющими деформации, при удовлетворении которых тело и после деформирования остается сплошным, или непрерывным. Поэтому уравнения (2.8) можно рассматривать как следствие сделанного ранее допущения о сплошности тела. Они называются уравнениями неразрывности деформаций Сен-Венана.