§ 2. Упругопластическое кручение бруса круглого сечения

Решение этой задачи можно получить, предполагая, что поперечные сечения остаются плоскими и за пределом упругости материала. Тогда, согласно формуле (5.8), в поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения

(а)

направленные в каждой точке сечения перпендикулярно радиусу и пропорциональные расстоянию ρ от центра сечения.

Эти напряжения дают следующие составляющие вдоль осей х и у (см. рис. 16):

Остальные составляющие напряжений равны нулю.

Рассмотрим материал, не обладающий упрочнением. В пластической зоне, согласно условию пластичности (11.3),

(в)

Величина, стоящая в левой части, , а величина, стоящая в правой части, называется пределом текучести при сдвиге: . Тогда условие пластичности (в) принимает вид

τ = τ_т. (г)

П римем распределение напряжений в упругой зоне по формуле (а), а в пластической — по формуле (г). Следовательно, эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис. 108. Она подчиняется следующим зависимостям:

(д)

где ρ_т — радиус упругого ядра.

Напряжения (д) удовлетворяют уравнениям равновесия (4.1) и уравнениям неразрывности деформаций (4.12). Условия неразрывности на границе между упругой и пластической зонами (при ρ=ρ_т) также выполняются. На боковой поверхности касательные напряжения (д) на основании закона парности касательных напряжений составляющей не дают, что соответствует отсутствию на ней поверхностных нагрузок. Следовательно, граничные условия на боковой поверхности бруса выполняются.

Рассмотрим граничные условия на торцах. Здесь касательные напряжения τ должны уравновесить внешний момент М₀, т. е.

(е)

Разобьем площадь интегрирования F на упругую Fупр и пластическую Fпл зоны. Подставив в формулу (е) значения напряжений (д), соответствующие этим зонам, получим

(ж)

Введем обозначения входящих сюда интегралов:

(12.7)

Здесь — полярный момент инерции площади упругого ядра; — статический момент площади пластической зоны. С учетом этих обозначений формула (ж) запишется в виде

(12.8)

За элементарную площадь dF принимаем площадь кольца радиусом ρ и бесконечно малой толщиной dρ:

Подставляем это выражение в формулы (12.7) и интегрируем:

Внося полученные значения в формулу (12.8), после упрощения находим

(з)

С читая, что предельное состояние скручиваемого бруса наступает, когда пластическая зона охватывает все сечение, т. е. при ρ_т = 0 (рис. 109), из формулы (з) получаем предельное значение скручивающего момента:

(и)

Деля почленно соотношение (з) на (и), находим соотношения между скручивающим моментом и радиусом упругого ядра:

(12.9)

Принятая на рис. 109 эпюра связана, казалось бы, с нарушением непрерывности напряжений в центре тяжести сечения. Однако в действительности вокруг центра тяжести всегда остается небольшая упругая зона. При этом понятие предельного пластического момента смысла не теряет, так как даже при радиусе упругого ядра, равном половине радиуса сечения (ρ_т = r/2), согласно формуле (12.9), М₀ = 0,969M₀^T, т. е. разница составляет приблизительно 3 %.

При Мo<0.75M₀^T все сечение будет находиться в упругом состоянии.