Лекция 9

VII. Плоская задача теории упругости в полярных координатах § 1. Основные уравнения

При решении плоской задачи встречаются тела, ограниченные поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощает решение.

В полярной системе координат положение любой точки на плоскости определяется двумя величинами: радиус-вектором r и полярным углом θ, отсчитываемым от начального радиус-вектора r₀. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах: дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенного закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, элемент abcd (рис. 32). Для этого проведем радиус Oab под произвольным углом θ к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение dθ и проведем радиус Odc. Произвольным радиусом Оа = r проведем дугу ad, затем дадим радиусу r приращение ab = dr и проведем вторую дугу — bc. Стороны полученного элемента имеют следующие размеры:

На границах элемента действуют следующие составляющие напряжений: σ_r — радиальное нормальное напряжение; σ_θ — тангенциальное нормальное напряжение; τ_θr = τ_rθ — касательные напряжения; R и Θ — составляющие объемной силы.

Составим уравнения проекций всех сил на оси r и θ :

При упрощении учтем, что ввиду малости угла dθ можно принять

sin (dθ/2) = dθ/2; cos (dθ/2) = 1.

Тогда, отбрасывая величины третьего порядка малости и деля оба уравнения на площадь элемента dr•rdθ, получаем дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи в полярной системе координат;

(7.1)

Особенностью этих уравнений по сравнению с условиями равновесия (5.2) для плоской задачи в декартовых координатах является наличие в знаменателе величины r. Чем ближе к началу координат (полюсу) расположена рассматриваемая точка, тем быстрее будут возрастать слагаемые, содержащие множитель 1/r, так как r неограниченно убывает. Поэтому уравнения (7.1) неприемлемы для точек, лежащих вблизи полюса.

Преобразуем к полярным координатам уравнение неразрывности деформаций. В декартовых координатах оно записывалось в виде (6.9)

(а)

Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам в плоской задаче является инвариантом. Действительно, подставляя в первый инвариант напряженного состояния (1.12) σ_z = 0, получим, что при обобщенном плоском напряженном состоянии инвариантной величиной является

При плоской деформации согласно формуле (6.1) напряжение

и инвариантной величиной является

Таким образом, в плоской задаче в каждой точке сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная, и можно составить следующее тождество:

Заменяя с его помощью напряжения в формуле (а), получаем уравнение неразрывности деформаций для плоской задачи в полярной системе координат:

(б)

Однако оператор Лапласа в полярной системе имеет иной вид, чем в декартовой. Заменим в формуле (6.9) декартовы координаты на полярные. Для этого на рис. 32 ось х совместим с начальным радиус-вектором а ось у направим вниз. В этом случае полярные координаты связаны с декартовыми следующими зависимостями;

(7.2)

Дифференцируя эти зависимости по х и у и учитывая, что х/r = cosθ, у/r = sin θ, находим

(в)

Вычисляем первые производные по х и у произвольной функции ψ (r, θ):

Используя выражения (в), получаем

(г)

Аналогично вычисляем вторые производные той же функции:

(д)

Совместим ось х с радиус-вектором r. В этом случае θ = 0 и производные в декартовой системе координат (г) и (д) выразятся через производные в полярной системе следующим образом:

(e)

Тогда оператор Лапласа принимает вид

(ж)

Используя это выражение в уравнении (б), получим развернутое уравнение неразрывности деформаций для плоской задачи в полярной системе координат:

(7.3)

Выразим теперь в этой системе геометрические соотношения Коши. Обозначим составляющую перемещения вдоль оси r через u, а вдоль оси θ — через v.

На рис. 33 изображен элемент abcd до деформирования и положение точек а₁, b₁, и d₁ после деформирования.

О тносительное удлинение в направлении r за счет перемещения и находим аналогично тому, как это сделано в декартовой системе координат (см. § 1 гл. II):

(з)

Относительное удлинение вдоль оси θ зависит как от составляющей перемещения и, так и от составляющей v. В первом случае

во втором, по аналогии с формулой (з),

Здесь элемент дуги ds заменен на произведение rдθ. Суммарное удлинение

(и)

Угловая деформация в рассматриваемой плоскости

(к)

Таким образом, геометрические соотношения Коши в полярной системе координат образуют систему уравнений (з), (и), (к):

(7.4)

Формулы закона Гука для обобщенного плоского напряженного состояния в полярных координатах сохраняют такой же вид, как и в декартовой системе [см. соотношения (6.8)], при замене индексов х и у на r и θ:

(7.5)

В случае плоской деформации упругие постоянные E и v в формулах (7.5) должны быть заменены соответственно на упругие постоянные E₁ и v₁ согласно формулам (6.6).