1 = (99 - 97) + (95 - 93) + (91 - 89) + ... + (7 - 5) + + (3 - 1) = 2-25 = 50.

3 223 (а). 37 + 26 = 63, значит, 48 + 37 = 85.

(б). 92 - 54 = 38, значит, 81 - 43 = 38.

(в). 57 : 19 = 3, значит, 64 : 16 = 4.

Ответ: а) 85; б) 38; в) 4.

3 224. Ответ: сумма; делитель.

3 225 (1). Чтобы произведение было наиболь­шим, нужно, чтобы множители, составленные из заданных цифр, были наибольшими. Составим на­ибольшие множители из заданных цифр, они будут равны 851 и 642, их произведение будет равно 546 342.

(2). Чтобы произведение было наименьшим, множители, составленные из заданных цифр, должны быть наименьшими. Составим множители,

они будут равны 158 и 246, их произведение равно 38 868.

3 226. 111 тыс. + 111 сот. + 111 ед. = 111 х х 1000 + 111 • 100 + 111 = 111 ООО + 11 100 + 111 = = 122 211.

3 227 (а). Сумма равна 15, дополним до 15 все ряды и столбцы. (б). Сумма равна 1011, дополним все ряды и столбцы до этого числа.

Ответ: а)

8. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНПКА

Цели изучения данного пункта: повторить формулы площади прямоугольника и квадрата; изучить понятия степени числа, показателя и осно­вания степени; сформировать умения вычислять значение степени числа, пользоваться таблицей квадратов двузначных чисел; закрепить умение

пользоваться схемой перевода единиц площади.

•

На первом уроке закрепляется умение приме­нять формулы площади прямоугольника и квад­рата.

Задания к уроку: № 228, 250-252, 257, 258, <№ 88>.

В начале урока проводится математический дик­тант по базовому материалу начальной школы. По результатам диктанта можно определить уровень подготовки учеников по материалу пункта, а также выявить пробелы в их знаниях, устранение кото­рых будет проводиться по мере изучения матери­ала. Можно провести работу фронтально. В этом случае ученикам предлагается закончить предло

­

жение, которое прочитал учитель. Понятно, что на ответы своих товарищей школьники на местах реа­гируют поднятием сигнальных карточек. (В дан­ном диктанте в скобках указаны ответы.)

Математический диктант

Запишите слова, формулы, значения выраже­ний, пропущенные в предложениях.

1. Прямоугольник имеет две пары равных про­тиволежащих ... [сторон].

2. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле ... [Р = 2(а + ()].

3. Площадь прямоугольника равна произведе­нию ... [длин его смежных сторон].

4. Площадь квадрата равна ... [E = а • а].

5. Если сторона квадрата равна 7 см, то его пло­щадь равна ... [49 см²].

6. Если стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см, то его площадь равна ... [56 см²].

7. Если площадь прямоугольника 65 дм², а его ширина 5 дм, то его длина равна ... [13 дм].

8. Если площадь квадрата равна 100 м², то его сторона равна ... [1M м].

9. 1 мм² — единица измерения ... [площади].

10. За единицу измерения площади принима­ют ... [площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины].

На уроке выполняются задания на отработку формул площади прямоугольника и квадрата № 228, 250, 251, 257, 258 и проводится исследова­тельская работа в № 252.

Решение исследовательской задачи № 252 сле­дует начать с записи формул:

1. Р = 2(а + Ь), 2(а + Ь) = 16, а + Ь = 8;

2. 2(а + Ь) = 32, а + Ь = 16.

А затем заполнить таблицы площади для задан­ных значений а и Ь.

Из таблиц видно, что значение площади наи­большее, когда стороны прямоугольника равны, т. е. когда прямоугольник является квадратом. Ги­потеза формулируется следующим образом: «Из всех прямоугольников данного периметра наиболь­шую площадь имеет квадрат».

•

На втором уроке изучаются понятия степе­ни, показателя и основания степени; формируются умения вычислять значение степени числа, пользу­ясь таблицей квадратов двузначных чисел, а также определением степени.

Задания к уроку: № 229-234, 253, 254, 260*, 261*, <№ 79—83>.

Таблица квадратов относится к виду таблиц с двумя входами. Возможно, что придется объяснить школьникам, как пользоваться этой таблицей.

В № 253 длины сторон прямоугольника должны давать в произведении число 16. Перебором полу­чаем, что существует три прямоугольника данной площади, длины сторон которых в сантиметрах вы­ражены натуральными числами: 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4.

•

На третьем уроке изучается правило возве­дения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, и отрабатывается правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих степень.

Задания к уроку: № 235—238, 255, 262*, <№ 86, 89>.

Устная работа

1. Вставьте математический термин из пяти букв, который служит окончанием для каждого из данных слов: ЛАС(...), ФОР(...), ЛЕН(...), КАР(...).

2. Вставьте название единицы измерения, состо­ящее из четырех букв, которое служит окончанием для каждого из данных слов: ПЕРИ(...), ДИА(...), МАНО(...).

3. Вставьте название единицы измерения из двух букв, которое служит окончанием для каждо­го из данных слов: НЕКТ(...), ПОЖ(...), КОМ(...), ПОВ(...).

ОТВЕТЫ К УСТНОЙ РАБОТЕ

1. Точка. 2. Метр. 3. Ар.

Задание № 89 из рабочей тетради

Разгадайте кроссворд.

По горизонтали: A. 3343 -7. Г. 120630 : 3. Д. 13². Ж. 1870 : 17. И. 143 - 71. Л. 258 - 186. М. 5³.

По вертикали: A. 408 : 2. Б. 201-20. В. 10². Е. 786 - 99. 3. 96 + 36. К. 839 - 638. Л. 7750 : 10.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ № 89 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

По горизонтали: А. 23 401. Г. 4210. Д. 169. Ж. 110. И. 72. Л. 72. М. 125.

По вертикали: А. 204. Б. 4020. В. 100. Е. 687. З. 132. К. 201. Л. 775.

На четвертом уроке закрепляется умение переводить единицы площади.

Задания к уроку: № 242—247, 256, № 263*, <№ 87, 92>.

Тест

1. Длина стороны квадрата равна 9 см. Какова его площадь?

а) 36 см²; б) 81 см²; в) 18 см²; г) другой ответ.

2. Какую часть гектара составляет ар?

а) Десятую; б) сотую; в) тысячную; г) другой от­вет.

3. Найдите площадь квадрата, периметр которо­го равен 12 см.

а) 48 см²; б) 18 см²; в) 9 см²; г) другой ответ.

4. Чему равен квадрат числа 11?

а) 22; б) 121; в) 44; г) другой ответ.

5. Площадь прямоугольника равна 98 дм². Чему равна длина прямоугольника, если его ширина рав­на 7 дм?

а) 14 дм; б) 42 дм; в) 91 дм; г) другой ответ.

6. Чему равен квадрат числа 85?

а) 170; б) 6375; в) 7225; г) другой ответ.

7. а) 13² + 25²;

   б) 13 + 15²;

   В каком выражении первым действием вы­полняется сложение?

в) (13 + 15)²;

г) 13 + 15-7².

8. В каком выражении вычисляется площадь прямоугольника со сторонами 13 мм и 26 мм?

а) 13 U 26 (мм²); б) (13 + 26)-2 (мм²); в) 13 х х 26 (мм²); г) другой ответ.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. б). 2. б). 3. в). 4. б). 5. а). 6. в). 7. в). 8. в).

На пятом уроке школьники учатся записы­вать сумму разрядных слагаемых в виде степеней числа 10 и повторяют материал пункта.

Задания к уроку: № 239-241, 248, 249, 259, 264*, <№ 84, 85, 90>.

Тест

Запишите число, составленное из номеров вер­ных утверждений.

1. 1 га = 1 000 000 м².

2. 1 а = 100 м².

3. 1 га = 100 а.

4. 1 км² = 1000 м².

5. 18 см² = 180 мм².

6. 5 а = 500 м².

7. 25 га = 250 000 м².

8. 4 000 000 м² = 4 км².

9. 70 000 см² = 7 м².

10. 19 дм² = 1 900 000 мм². Ключ: 23 6789.

На шестом уроке выполня­ется самостоятельная работа по те­ме пункта. Самостоятельная работа планируется на 25 минут, осталь­ное время отводится обсуждению ее результатов и разбору наиболее сложных заданий. Если останется время, полезно выполнить из рабочей тетради № 91.

Задание № 91 из рабочей тетради

Замените буквы цифрами так, что­бы в каждой строке и в каждом столбце стояли трехзначные чис­ла, являющиеся точными квадра­тами. Одинаковым буквам соот­ветствуют одинаковые цифры.

ОТВЕТ К ЗАДАНИЮ № 91 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

Ответ к заданию представлен в таблице. 729 = = 27², 256 = 16², 961 = 31².

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Замените произведение степенью: 1)5*5*5*5; 2) 3*3* 3*3* 3*3.

2. Представьте число 4 060 087 в виде суммы раз­рядных слагаемых, используя степени числа 10.

3. Вставьте пропущенные числа: 1) 32 га = ...м²; 2) 2500 а = ...га.

4. Сравните значения выражений: 1) 3 • 8² и (3 • 8)²; 2) (2 + 4)² и 4² + 2².

5. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 7 см и 80 мм.

6*. Сколькими нулями оканчивается число (2500)²?

Вариант 2

1. Замените произведение степенью: 1)7*7*7; 2) 4*4*4*4*4.

2. Представьте число 5 020 038 в виде суммы раз­рядных, слагаемых используя степени числа 10.

Вставьте пропущенные числа: 1) 16 га = ...м²; 2) 1200 а = ...га.

4. Сравните значения выражений: 1) 4²-5 и (4-5)²; 2) 8² - З² и (8 - З)².

5. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 9 см и 80 мм.

6*. Сколькими нулями оканчивается число (З5 000)²?

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

В—1. 1. 1) 5⁴; 2) З⁶. 2. 4 • 10⁶ + б • 10⁴ + 8-10 + 7. 3. 1) З20 000 м²; 2) 25 га. 4. 1) З • 8² < (З • 8)²; 2) (2 + + 4)² > 4² + 2². 5. 56 см². 6. Четырьмя нулями.

В—2. 1. 1) 7^З; 2) 4⁵. 2. 5- 10^б + 2 • 10⁴ + З • 10 + 8. 3. 1) 160 000 м²; 2) 12 га. 4. 1) 4² -5 < (4 -5)²; 2) 8² - - З² > (8 - З)². 5. 72 см². 6. Шестью нулями.

Решение задач на смекалку

3 260. По таблице квадратов двузначных чисел видно, что это числа 625 и 256, так как 62 5 = 25², 256 = 16². Следовательно, это числа 25 и 16.

3 261 (1). Сумма первых нескольких нечетных чисел равна квадрату количества этих чисел.

3 262 (2). Сумма кубов первых нескольких по­следовательных натуральных чисел равна квадрату суммы этих же чисел.

3 263. Ответ: 90°.

3 264. Ответ: 1) ПЯТЬ = 2846; 2) ШЕСТЬ = = 90 625; З) СЕМЬ = З201.

9. Объем прямоугольного параллелепипеда

Цель изучения данного пункта: познако­мить учеников с объемными телами, такими как шар, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб, а также изучить понятия грани, вершины и ребра многогранника; закрепить умения перево­дить одни единицы измерения объемов в другие.

Ученики должны знать формулы объема прямо­угольного параллелепипеда и куба, а также уметь

решать задачи на применение этих формул.

•

На первом уроке происходит знакомство уче­ников с объемными геометрическими телами. Ос­новное внимание уделяется прямоугольному па­раллелепипеду, кубу и их разверткам. Ученики на­ходят площадь поверхности параллелепипеда и куба.

Следует использовать на этом уроке модели гео­метрических тел.

Задания к уроку: № 265—271, 295*, <№ 93, 102>.

В начале урока проводится диагностический тест по базовому материалу, изученному ученика­ми ранее. Данный тест находится в рабочей тетради в задании № 102.

Тест

1. По какой формуле вычисляется объем прямо­угольного параллелепипеда?

а) S = аЬ; в) V = аЬс;

б) V = а-а-а; г) другой ответ.

2. Найдите среди единиц измерения единицу объема.

а) см³; б) м²; в) га; г) кг.

3. Чему равен объем куба со стороной 4 см?

а) 16 см³; б) 64 см³; в) 12 см³; г) другой ответ.

4. Значение какого выражения равно кубу числа 20?

а) 20 + 20 + 20; в) 20 • 3;

б) 20 • 20 • 20; г) другой ответ.

5. Чему равен объем прямоугольного параллеле­пипеда со сторонами 3 дм, 4 дм и 5 дм?

а) 12 дм; б) 35 дм²; в) 60 дм³; г) другой ответ.

6. Скольким кубическим сантиметрам равны пять кубических метров?

а) 500 см³; в) 5 000 000 см³;

б) 50 000 см³; г) другой ответ.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. в). 2. а). 3. б). 4. б). 5. в). 6. в).

К о иментарии к заданиям учебника

В № 268 (4) решением может быть, например, сумма AD U DM U ME U ЕК U KL U LC U CB U U BA = 2-8 = 16 (см).

В № 269 по насыщенности цвета пятна можно понять, на какой грани оно находится. Круг изо­бражен: а) на правой грани; б) на верхней грани;

в) на нижней грани; г) на левой грани; д) на тыль­ной грани.

В № 270 (1) ученики должны соотнести модель прямоугольного параллелепипеда и его развертку и затем дать ответ. При этом ученики должны ис­пользовать термины вершина, ребро и грань. Точ­ка X находится на грани BCML. Точка Y находит­ся на ребре прямоугольного параллелепипеда, сле­довательно, принадлежит двум граням ADNK и KNML. Точка Z находится в вершине прямоуголь­ного параллелепипеда, а именно в точке M, значит, принадлежит трем граням: CDNM, BCML и MNKL.

•

На втором уроке происходит знакомство уче­ников с пирамидой и ее элементами; закрепляются понятие объема фигуры, формулы объема прямо­угольного параллелепипеда, умение переводить единицы объема.

Задания к уроку: № 272—278, 284, 285, 291*, <№ 94—96>.

Комментарии к заданиям учебника

В № 273 (1) ученики должны увидеть зависи­мость между количеством вершин, ребер, граней и основанием пирамиды, так как название пирамиды дается по многоугольнику, лежащему в основании.

(1а). Четыре вершины у треугольной пирамиды, одна вверху и остальные три в основании пирами­ды. Так как у пирамиды 5 вершин, то в основании лежит четырехугольник, значит, пирамида четы­рехугольная. Аналогично 100 вершин у пирамиды, в основании которой лежит 99-угольник.

(1 б). Чтобы узнать, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, нужно количество ребер раз­делить на 2. Первой будет четырехугольная пира­мида.

(1 в). На многоугольник, лежащий в основании пирамиды, указывает число граней без одной, ко­торая лежит в основании. В первой пирамиде из че­тырех граней одна лежит в основании, а три другие грани соединяют вершину со сторонами основания. В основании лежит треугольник, значит, это тре­угольная пирамида.

Задание 2 в № 273 предполагает взглянуть на зависимость между вершинами, ребрами, гранями и основанием пирамиды с другой стороны.

(2а). 999 не делится на 2, значит, такой пирами­ды не существует.

(2б). 57 граней у пирамиды, следовательно, в ос­новании лежит пятидесятишестиуголъник. Та­кая пирамида существует.

(2в). Если у пирамиды 2002 вершины, одна на­ходится вверху, а остальные 2001 вершины соеди­нены с первой. Такая пирамида существует.

В № 274 в верхнем ряду изображены призмы, число вершин в основании которых увеличивается: треугольник, затем четырехугольник, пятиуголь­ник. Следующая фигура будет шестиугольной призмой. В нижнем ряду изображены пирамиды, в основании которых расположены: шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник. Следующая фи­гура будет треугольной пирамидой.

В № 275 можно сосчитать число кубиков по пе­редней грани и умножить на 3, так как у обеих фи­гур по три слоя, получится 9*3 = 27 см³.

В № 278 вычисляется объем куба V = 6³ = = 216 (см³). Такой же объем имеют прямоуголь­ные параллелепипеды со следующими измерения­ми: 1 х 1 х 216, 1 х 2 х 108, 1 х 4 х 54, 1 х 8 х 27,

2 х 2 х 54, 2 х 4 х 27, 3 х 2 х 36, 3 х 3 х 24 и т. п.

•

На третьем уроке закрепляются вычисли­тельные навыки, умение возводить числа в квадрат и куб, а также находить значения выражений, со­держащих степени, вычислять объем прямоуголь­ного параллелепипеда.

Задания к уроку: № 279-283, 286, 287, 293*, 294*, <№ 97-99, 101>.

К о иментарии к заданиям учебника

№ 287 (1). Решение.

(1а). Пусть сторона квадрата равна а, тогда его периметр Р = 4а. Если множитель а в формуле пе­риметра увеличить в 3 раза, то и произведение уве­личится в 3 раза.

(1 б). Площадь квадрата вычисляется по формуле S = а². Если сторону увеличить в 3 раза, то пло­щадь квадрата увеличится в 9 раз.

Ответ: а) в 3 раза; б) в 9 раз.

№ 287 (2). Решение.

(2а). Площадь поверхности куба состоит из 6 квадратов со стороной а, тогда S = 6а². При увели­чении стороны квадрата в З раза его площадь уве­личится в 9 раз, и произведение 6а² увеличится в 9 раз.

(2б). V = а^З. При увеличении ребра куба в З раза объем куба увеличится в 27 раз.

Ответ: а) в 9 раз; б) в 27 раз.

На четвертом уроке решаются задачи на производительность труда, а также закрепляется материал пункта.

Задания к уроку: № 288-290, 292*, 296*, 297*, <№ 100>.

Устная работа

1. Назовите единицы измерения длин и их соотношения.

2. Назовите единицы измерения площадей и их соотношения.

3. Назовите единицы измерения объемов и их соотношения.

4. Назовите единицу измерения углов.

5. Как найти периметры квадрата и прямоуголь­ника?

6. Как найти площади квадрата и прямоуголь­ника?

7. Как найти объем куба и объем прямоугольно­го параллелепипеда?

Коиментарии к заданиям учебника

№ 288. Решение. d З0 + 25 = 55 (м^З) — совместная пропускная способность (производительность) двух труб, т. е. сколько воды вливается за 1 ч через обе трубы.

(2 825 : 55 = 15 (ч) — время наполнения бассейна двумя трубами.

(3 825 - 55* 3 = 660 (м³) — останется незаполнен­ным через 3 ч работы двух труб. Ответ: 15 ч, 660 м³. № 289. Решение.

d 240 : 3 = 80 (м³) — пропускная способность (производительность) первой трубы, т. е. сколько воды проходит через первую трубу за 1 ч.

(2 240 : 4 = 60 (м³) — пропускная способность второй трубы.

(3 80 - 60 = 20 (м³) — разница в объемах воды, проходящей через трубы за 1 ч, т. е. на сколько пропускная способность первой трубы больше. Ответ: на 20 м³.

№ 290. Решение. d 6 - 2 = 4 (л) — добавляется в бочку каждую минуту. (3 4-7 = 28 (л) — будет в бочке через 7 мин. Ответ: 28 л.

Решение задач на смекалку

3 291. В задаче нужно просто сосчитать число кубиков, учитывая и те, которые не видны. В ниж­нем ряду находится 6 кубиков, в среднем — 3, а в верхнем ряду — 1 кубик. Всего 10 кубиков. Объем фигуры равен 10 единицам объема.

d В прямоугольном параллелепипеде указаны длины трех измерений. Объем прямоугольного па­раллелепипеда с измерениями 1 х 1 х 8 равен 8 ед.³. Такой прямоугольный параллелепипед можно со­ставить из данных кубиков, при этом 2 кубика останутся лишними.

(2 V = 2 • 2 • 3 = 12 (ед.³), потребуется 12 кубиков, а их всего 10, следовательно, кубиков не хватит. (3 V = 1-2-5 = 10 (ед.³) — можно составить из 10 кубиков.

4 V = 3 • 3 • 2 = 18 (ед.³) — нельзя составить из 10 кубиков.

7 3 292. На рисунке З7 показа- Fно, как следует занумеровать вер­

шины куба, чтобы сумма номеров на всех гранях была равной 18. Сумма всех чисел от 1 до 8 равна 2 1 + 2 + З + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 8 =9*4 = З6. У куба 6 граней.

Каждое число попадает на З гра- ^Рис' ^З7 ни, значит, сумма чисел на всех

6 гранях З6* З. Сумма чисел на одной грани должна быть в 6 раз меньше, т.е. З6* З : 6 = 18. По верти­кальным ребрам будем расставлять числа так, что­бы их сумма была равной 9:

1 + 8 = 2 + 7 = З + 6 = 4 + 5.

3 293 (1). 2-2 = 4, 2-2-2 = 8, 2-2-2-2 = 16, 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = З2. Видно, что при умножении числа

2. несколько раз на себя результат может оканчи­ваться следующими цифрами: 2, 4, 6, 8. Заметим, что если число 2 взять множителем 5 раз, то полу­чится число З2, оканчивающееся цифрой 2. Зна­чит, мы можем в нашем выражении заменить 5 двоек одной двойкой. Таким образом, 10 двоек дадут нам всего 2 двойки, и вместе с 11-й двойкой мы получим 8.

Можно рассуждать иначе. Произведение числа 2, взятого 11 раз, можно рассматривать как произ­ведение числа 2, взятого 10 раз, и еще одной двой­ки, произведение десяти двоек можно рассматри­вать как произведение пяти четверок. Нечетное число четверок в произведении оканчивается циф­рой 4. Умножаем результат на 2 и видим, что про­изведение оканчивается цифрой 8.

(2). З-З = 9, З-З-З = 27, З-З-З-З = 81,

2. Рис. З7

   • З • З • З • З = 24З. Видно, что при умножении чис­ла З на себя результат может оканчиваться следую­щими цифрами: 1, З, 7, 9. Произведение двух троек оканчивается цифрой 9, произведение трех троек оканчивается цифрой 7, четырех — 1, пяти — З, за­тем повторяется последняя цифра, значит, произ­ведение шести троек оканчивается цифрой 9, се­

4. ми — 7, восьми — 1, девяти — 3, десяти — 9, один­надцати — 7.

   3. . Произведение четного числа четверок окан­чивается цифой 6, а нечетного числа — цифрой 4. Значит, произведение четверок, взятое множи­телем одиннадцать раз, будет оканчиваться циф­рой 4.

   4. и (5). Последняя цифра произведения не зависит от количества множителей.

Ответ: 1) цифрой 8; 2) цифрой 7; 3) цифрой 4; 4) цифрой 5; 5) цифрой 6.

3 294. Чтобы куб числа оканчивался цифрой 9, нужно взять двузначное число, оканчивающееся цифрой 9. Проверим числа 19³ = 6859, 29³ = = 24 389. Остальные двузначные числа, которые оканчиваются цифрой 9, тоже больше 10 000.

Ответ: 19³ = 6859.

3 295. Поскольку пло­щадь поверхности одного ку­бика равна 6 см², то его ребро равно 1 см. Объем прямо­угольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: V = аЬс, 3аЬ = = 18, аЬ = 6. Произведение двух натуральных чисел равно 6, если эти числа 1 и 6 или 2 и 3. Найдем площадь поверхности паралле­лепипеда для этих случаев. Площадь поверхности вычисляем по формуле S = 2(аЬ + ас + Ьс) и запол­няем таблицу. Ответ: 54 см² и 42 см².

3 296. Объем куба определяется по формуле V = а³, а его площадь поверхности S = 6а². Так как объем и площадь поверхности выражаются одним и тем же числом, то а³ = 6а². Видно, что равенство возможно только при а = 6.

Ответ: ребро куба равно 6 м.

3 297. Ответ: 1) площадь; 2) миллиметр; 3) пря­моугольный параллелепипед.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Тема: «Числовые выражения»

Вариант 1

1. Сравните значения выражений

(5^H U 13²): 21 и 12 • 130 - 7280 : 5.

2. Длина прямоугольного участка земли 464 м, а ширина 25 м. Найдите площадь участка и выра­зите ее в арах.

3. Найдите объем прямоугольного параллелепи­педа, измерения которого равны 3 дм, 2 м, 530 см.

Запишите решения задач 4 и 5 в виде числовых выражений и найдите их значения.

4. В одном альбоме было 29 марок, в другом - на 3 марки больше, а в третьем - в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько всего марок было в трех альбомах?

5. Два поезда, расстояние между которыми 420 км, идут навстречу друг другу, один со скоро­стью 65 км/ч, другой — 75 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

6*. Найдите объем прямоугольного параллелепи­педа, площади трех граней которого равны 12 см², 15 см², 20 см².

Вариант 2

1. Сравните значения выражений

(6³ U 12²): 15 и 51 • 120 - 36 108 : 6.

2. Длина прямоугольного участка земли 1400 м, а ширина 265 м. Найдите площадь поля и выразите ее в арах.

3. Найдите объем прямоугольного параллелепи­педа, измерения которого равны 4 дм, 23 см, 50 мм.

Запишите решения задач 4 и 5 в виде числовых выражений и найдите их значения.

4. В одной коробке было 37 кг конфет, в другой — на 5 кг конфет больше, а в третьей — в 3 раза мень­ше, чем во второй. Сколько килограммов конфет было в трех коробках вместе?

5. Два автомобиля, расстояние между которыми 612 км, движутся в противоположных направлени­ях, один со скоростью 83 км/ч, а второй — 97 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

6*. Каков объем прямоугольного параллелепипе­да, если площади трех его граней составляют 6 см², 12 см², 8 см²?

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3

В—1. 1. (5³ U 13²): 21 < 12 • 130 - 7280 : 5, так как 14 < 104. 2. 11 600 м² = 116 а. 3. V = 3-20-53 = = 3180 (дм²). 4. 29 U (29 U 3) U (29 U 3): 2 = 29 U U 32 U 16 = 77 (м). 5. 420 - (65 U 75)- 2 = 140 (км). 6. 12 = 3-4, 15 = 5-3, 20 = 5-4, значит, V = 3-4 х х 5 = 60 (см³).

В—2. 1. (6³ U 12²): 15 < 51 • 120 - 36 108 : 6, так как 24 < 102. 2. 371 000 м² = 3710 а. 3. V = = 40-23-5 = 4600 (см²) = 46 (дм²). 4. 37 U (37 U 5) U U (37 U 5) : 3 = 37 U 42 U 14 = 93 (кг). 5. 612 U (83 U U 97)- 3 = 1152 (км). 6. 6 = 2-3, 12 = 3-4, 8 = 2-4, значит, V = 2-3-4 = 24 (см³).

10. БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Цели изучения данного пункта: сформиро­вать у учеников умения распознавать буквенные выражения среди различных математических за­писей, читать буквенные выражения, находить значения буквенных выражений, решать задачи с помощью составления буквенных выражений, за­писывать законы арифметических действий.

На первом уроке изучаются законы арифме­тических действий. Ученики должны научиться за­писывать законы арифметических действий и ис­пользовать их при вычислениях.

Задания к уроку: № 298-304, № 333*, <№ 103, 104, 117>.

В начале урока проводится анализ контрольной работы № 3, сравниваются результаты с предыду­щими контрольными работами, отмечаются общие успехи и недочеты в работе. Важно отметить, на­учились ли ученики оформлять письменные рабо­ты, конкретно пройдясь по заданиям, выделяя оформление решений текстовых и геометрических задач, вычислительных упражнений.

Далее выполняется работа, которая позволит ди­агностировать имеющиеся у учащихся знания, ко­торые являются базовыми для данного пункта. Предложенный ниже тест соответствует № 117 из рабочей тетради.

Тест

1. Какая из записей является буквенным выра­жением?

а) S = аЬ; б) 29 U 240; в) 5³ - с; г) 5а > Ь.

2. Чему равно значение выражения а U Ь • с, ес­ли а = 13, Ь = 7, с = 10?

а) 200; б) 83; в) 137; г) другой ответ.

3. В каком выражении первым выполняется вы­читание?

а) 78 - 6²; б) 56 - 13-5; в) 3(90 - 45); г) ни в ка­ком.

4. Какое выражение является суммой трех и ча­стного а и 5?

а) (3 U а): 5; б) 3 U а : 5; в) 3 U 5 : а; г) нет такого выражения.

5. Как записать распределительный закон умно­жения относительно сложения?

а) (а - Ь)* с = ас - be; в) (а + Ь) : с = а : с + Ь : с;

б) (а + ()• с = ас + Ьс; г) другой ответ.

6. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов автомобиль проедет расстояние s км?

а) s : 60 (ч); в) 60 : s (ч);

б) 60 • s (ч); г) другой ответ.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. в). 2. б). 3. в). 4. б). 5. б). 6. а).

К о иментарии к заданиям учебника

N 299. Решение.

(1а). с + d = d + с — переместительный закон сложения.

(1 б). (т + п) + U = т + (п + U) — сочетательный закон сложения.

N 299. Решение.

(2а). аЬ = Ьа — переместительный закон умно­жения;

(2б). (а + Ь)с = ас + Ьс — распределительный за­кон умножения относительно сложения.

N З00 (1). Решение.

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из первого слагаемого и к полученной разности прибавить второе слагаемое или вычесть это число из второго слагаемого и прибавить первое слагаемое.

(2). Решение.

Чтобы вычесть сумму из числа, нужно каждое слагаемое вычесть из этого числа.

На втором уроке повторяются понятия: бук­венное выражение, значение буквенного выраже­ния, а также правила чтения буквенных выраже­ний.

Задания к уроку: № 305—311, 334*, <№ 105, 106>.

Тест

1. Выберите буквенное выражение из записей:

а) (100 - 28) - а; в) - + 15 = 30;

б) 45 : 9 + 18; г) 2у - 7 > 5.

2. Значение выражения (у - 327) + 126 при у = 500 равно:

а) 300; б) 299; в) 353; г) другой ответ.

3. Свойство вычитания суммы из числа записы­вается так:

а) а - (Ь + с) = а - Ь + с; б) (а + Ь) - с = а + (Ь - с);

в) а - (Ь + с) = а - Ь - с; г) другой ответ.

4. Если значения разностей с - 12 и 15 - с явля­ются натуральными числами, то с может прини­мать значения:

а) 1, 2, 3, ..., 11; б) 12, 13, 14, 15; в) 13, 14;

г) другой ответ.

5. У Лены а марок, у Маши — на Ь марок мень­ше. Количество марок у Лены и Маши вместе записывается выражением:

а) 2а + Ь; б) 2а - Ь; в) 2Ь - а; г) другой ответ.

6. Если известно, что за 6 ч было преодолено рас­стояние 240 км, то скорость была равна:

а) 30 км/ч; б) 1440 км; в) 40 км/ч; г) другой ответ.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. а). 2. б). 3. в). 4. в). 5. б). 6. в).

Комментарии к заданиям учебника

При выполнении № 306, когда ученик сделает ошибку, внимание всего класса следует привлечь к правилу чтения буквенных выражений.

№ 308. Решение.

1. . Число Ь больше числа а на 3.

2. . Число с на 5 больше числа d.

3. . Число k в 2 раза меньше числа W, если эти числа не равны нулю;

4. . Число х в 7 раз больше числа у, если они не равны нулю;

(5 и 6). Нельзя сказать, какое из чисел больше.

7. . Числа Ь и с равны.

8. . у больше z на 1.

В № 310 (1) решение может иметь вид а = Ь U 5, а - Ь = 5, Ь = а - 5.

В № 311 (4) значения выражений а), б), в) уве­личиваются; г) и д) - не изменяются.

•

На третьем уроке закрепляются умения преобразовывать буквенные выражения на основе законов арифметических действий.

Задания к уроку: № 312-319, 336*, 337*, <№ 107-111>.

К о иментарии к заданиям учебника

В № 312 сначала ученики должны записать вы­ражения, убрав из них «лишние» знаки умноже­ния. Затем фронтально обсуждаются полученные ими результаты.

В № 313 при выполнении преобразований в пер­вых заданиях ученики должны явно применять распределительный закон. В задании 1 запись должна быть 13а U 18а = (13 U 18)а = 31а, в зада­нии 3 - х и х и х и у и у = (1 и 1 и 1)х и (1 и 1)у = = 3х U 2у.

В № 314 полезно предложить школьникам сфор­мулировать правило умножения числа на сумму и на разность. Например: «При умножении числа на сумму умножают это число на каждое слагаемое и полученные результаты склады­вают».

В № 315 (2) естественно разбить данные записи на равенства и неравенства, но можно разбить их с использованием результатов задания 1: на утверж­дения, которые верны при единственном значении а, и утверждения, которые верны более, чем при одном значении а.

№ 316 можно задать на дом.

В № 317 имеется в виду, что значение выраже­ния будет находиться при некоторых значениях входящих в него букв.

№ 318 выполняется письменно. Здесь значения подставляются сразу, а затем ведутся вычисления. До предварительного упрощения выражений еще почти 2 года.

№ 319 выполняется в форме математического диктанта.

•

На четвертом уроке закрепляется умение учеников решать задачи с помощью составления буквенных выражений, продолжается работа с ко­ординатным лучом.

Задания к уроку: № 321, 322, 324—326, 335*, <№ 112, 113>.

Математический диктант

1. Какую координату имеет точка О, обозначаю­щая начало координатного луча?

2. Какую координату имеет точка Е, которая обозначает конец единичного отрезка ОЕ на коор­динатном луче?

3. Точка М имеет координату с, а координата точки N в два раза больше. Чему равна координата точки N?

4. Точка А имеет координату х U 3. Каково чис­ловое значение координаты точки А, если х = 19?

5. Точку В с координатой а передвинули влево на 5 единиц. Какой стала координата точки В пос­ле этого?

6. Точка К имеет координату у. Чему равна ко­ордината точки L — середины отрезка ОК?

ОТВЕТЫ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ДИКТАНТУ

1. 0(0). 2. >(1). 3. 8(2с). 4. А(22). 5. В(а - 5). 6. L(y : 2).

Комментарии к заданиям учеб ника

В N З21 луч полезно изобразить на доске и пред­лагать отвечающему ученику показывать на нем, как построить соответствующую точку.

В N З22 особенно важно задание 2, так как в нем школьники встречаются с фрагментом луча, не со­держащим его начала.

N З24—З26 (а также З27, З28, которые будут предложены на следующем уроке) исключительно важны для дальнейшей работы по обучению реше­нию текстовых задач. Учитель должен добиваться уверенной интерпретации смысла буквенного вы­ражения и составления буквенного выражения по данному условию. У некоторых учеников, которые легко составляли по тексту задач числовые выра­жения, буквенные данные вызывают серьезные за­труднения. Одним из довольно эффективных прие­мов работы с этими учениками является временная замена в условии задачи букв на числовые данные. Значения букв при этом записываются в виде ра­венств, а затем в составленном выражении осу­ществляется обратная замена.

•

На пятом уроке закрепляется умение школь­ников решать задачи с помощью составления выра­жений.

Задания к уроку: № 327—329, <№ 114, 115>.

Математический диктант

1. 3 кг яблок стоят а р. Сколько надо заплатить за 7 кг таких яблок?

2. В первом вагоне поезда Ь человек, а во втором — в 2 раза больше. Сколько пассажиров в двух ваго­нах?

3. Автобус едет со скоростью 60 км/ч. Какое рас­стояние автобус проедет за 3 ч, увеличив скорость на т км/ч?

4. У Ани было с р. Она купила 2 альбома по - р. и 5 книг по у р. Сколько денег у нее осталось?

5. Автомат за 4 ч закрывает с банок. За сколько часов автомат закроет d банок?

ОТВЕТЫ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ДИКТАНТУ

1. а : 3-7 (р.). 2. Ь + 2Ь или 3Ь (п.). 3. (60 + + т)* 3 (км). 4. с - 2- - 5у (р.). 5. d : (с : 4) или (4 : с)* d (ч).

В № 328. 1) а + (а + Ь) = 2а + Ь; 2) а : 5 и (а : 5)- 4 или 4а : 5; 3) (с - Ь): 2; 4) а : 3 и а : 3-2 или 2а : 3.

На шестом уроке решаются задачи на движе­ние.

Задания к уроку: № 320, 323, 330—332, <№ 116>.

Комментарии к заданиям учебника

№ 320. Решение.

(1). 7(а + 1) = 7а + 7, значение выражения 7а увеличится на 7;

2. . 7(а - 2) = 7а - 14, значение выражения 7 а уменьшится на 14;

3. . 7(2а) = 14а = 2(7а), значение выражения 7а увеличится в 2 раза.

В задачах № 331 и 332 следует изобразить схему движения.

В № 331 (4) полезно предложить школьникам объяснить, почему против течения тот же путь у лодки занял больше времени, чем по течению,

I у * уД^ N = ^ил ^U

^UP ^UP

^N2 = ^Ул ^{- У}р

Рис. 38

и найти скорость течения. С помощью схемы (рис. 38) полезно показать, что скорость течения реки в 2 раза меньше разности скоростей лодки по течению и против течения.

Задание № 116 из рабочей тетради

Составьте буквенные выражения к задачам.

1. У Вали было а рублей. Она купила 3 ручки по цене п рублей и 4 карандаша по цене т рублей. Сколько денег у нее осталось?

2. У Светы было с рублей. На книгу она истрати­ла Ь рублей, а на остальные деньги купила 3 руч­ки. Сколько стоит одна ручка?

3. Автобус ехал 3 ч со скоростью а км/ч и 4 ч со скоростью Ь км/ч. Какое расстояние проехал авто­бус?

4. Самолет пролетел р км за 3 ч. Какое расстоя­ние он пролетит за 7 ч, если будет лететь с той же скоростью?

5. Теплоход проплыл вниз по реке k км за 4 ч, а на обратный путь он затратил 5 ч. На сколько меньше была его скорость на обратном пути?

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ № 116 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

1. а - 3п - 4т или а - (3п + 4т). 2. (с - Ь): 3. 3. 3а + 4Ь. 4. р : 3-7. 5. k : 4 - k : 5.

Решение задач на смекалку

3 333. В равенстве АВ-А-В = ВВВ правую часть можно записать иначе, ВВВ = В* 111, 111 = = 3-37, АВ-А-В = В-3-37. Очевидно, что А = 3, В = 7, т. е. получаем, что 37-3-7 = 777.

3 334. Заменим букву А на цифру 2, получим МУХ2 • 2 = СЛОН. Осталось семь букв и столько же цифр. Так как последняя цифра в первом множите­ле 2 и умножается число на 2, то Н = 4. Осталось шесть букв и шесть цифр — это 1, 3, 5, 6, 7, 8. За­метим, что умножается четырехзначное число на 2, и в результате получается четырехзначное число. Следовательно, первой цифрой могут быть цифры:

1. или 3 (цифры 2 и 4 уже заняты). Методом проб и ошибок подбираем остальные цифры.

Ответ: 3582-2 = 7164.

3 335. Когда на прямой поставили 10 точек че­рез равные промежутки, получился отрезок дли­ной а, состоящий из девяти равных частей. А отре­зок длиной Ь состоит из 99 таких же частей. Число 99 больше числа 9 в 11 раз.

Ответ: в 11 раз.

3 336. Переведем длину одной части в дюймы:

2. фута 4 дюйма = 12-2 + 4 = 28 дюймов. Найдем длину проволоки:

28-6 = 168 (дюймов), 168 : 12 = 14 (футов).

Ответ: 14 футов.

3 337. Заметим, что х = у + 11 + 12 + ... + 19 + + 20. Тогда х - у = 11 + 12 + ... + 19 + 20 = (11 + 20) + + (12 + 19) + ... + (15 + 16) = 31-5 = 155.

Ответ: на 155.

11. ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ

Цели изучения данного пункта: сформиро­вать у учеников знания формул периметра и пло­щади прямоугольника, объема прямоугольного па­раллелепипеда и куба, стоимости товара, расстоя­ния, работы; сформировать умения решать задачи по формулам и выражать любую величину из фор­мулы. Ученики должны знать определение уравне­ния, уметь решать уравнения на основе взаимосвя­зи результата и компонентов действий.

На первом уроке закрепляются понятие фор­мулы и умение находить значение величины по формуле; повторяются формулы площади и пери­метра прямоугольника, площади и периметра квад­рата, объема прямоугольного параллелепипеда.

Задания к уроку: № 338—343, <№ 119, 120>.

В начале урока проводится тест по материалу пункта. Уче­ники должны оценить пра- ^{b с} вильность математических ут-

Рис. З⁹ верждений, выписанных на

доске, и составить число из номеров правильных утверждений. В результате получится некоторый код.

Тест

Запишите число, составленное из номеров вер­ных утверждений (рис. 39).

1. Р = 2(а U b). 6. S = ab.

2. Р = 2а U 2b. 7. а = S : b.

3. Р = а U b U а U b. 8. S = с³.

4. b = Р : 2 U а. 9. Р = 4с.

5. а = Р : 2 - b. 10. с = Р : 4. Ключ: 123 567 910.

Комментарии к заданиям учебника

В № 338, перед тем как предложить школьни­кам задания 2 и 3, полезно обсудить с ними вопрос о том, как из формулы пути получить формулу ско­рости и формулу времени. Подстановка данных в формулу пути с последующим вычислением может быть показана как альтернативный вариант.

В № 339 (2) сначала со школьниками надо выяс­нить, сколько знаков в секунду набиралось в сере­дине прошлого века. Если времени тратили в 10 раз больше, то в единицу времени успевали набрать в 10 раз меньше знаков: 2000 : 10 = 200. Затем запи­сывается выражение: t = 60 • 30 • 2 : 200 = 18 (с).

№ 340 и 343 решаются аналогично № 338.

№ 342 полезно рассмотреть на доске (учитель де­лает исходный рисунок).

•

На втором уроке закрепляется умение школьников решать задачи по известным форму­лам; повторяются формулы деления с остатком, стоимости покупки и работы.

Задания к уроку: № 344—347, <№ 118>.

Комментарии к заданиям учебника

В № 344 сначала повторяется формула деления с остатком а = Ь\ + г. Здесь важно обратить внима­ние школьников на две особенности. Во-первых, ос­таток меньше делителя, а во-вторых, остаток мо­жет быть равен нулю, как, например, при делении числа 6 на 3. Таким образом, должно выполняться двойное неравенство 0 < г < q.

В заданиях 2—4 следует выразить из формулы деления с остатком искомый компонент. При этом ученики должны пользоваться известными им пра­вилами нахождения неизвестного компонента. Так, например, в задании 2 сначала находим неиз­вестное слагаемое, в которое входит Ь, как разность суммы и известного слагаемого: Ь\ = а - г, за­тем находим неизвестный множитель, для чего делим произведение на известный множитель: Ь = (а - г): q.

В № 345 продолжаем работу по обучению пяти­классников решению текстовых задач.

В № 346 ученики имеют дело с формулой рабо­ты. В задании 1 важно обратить внимание на необ­ходимость согласования единиц измерения. В про­изводительности используются минуты, а время указано в днях. Естественно, что следует пользо­ваться в рамках одной задачи одной и той же единицей времени. В данной задаче это минута. 1 день = 24 ч = 24 -60 мин. (Можно, правда, счи­тать, что речь идет о рабочем дне, продолжитель­ность которого 8 ч, но для этого нужно иметь конк­ретную информацию о распорядке работы завода ВАЗ.)

На третьем уроке закрепляется умение ре­шать задачи на движение двух объектов.

Задания к уроку: № 348-350, 363*.

В № 348 ученики записывают в тетрадях форму­лу скорости сближения или удаления объектов для каждой схемы в общем виде. При этом сначала ле­вую скорость обозначают n₁, а правую n₂, а затем вычисляют.

Так, например, по схеме а) записи должны быть следующими:

® и_Сбл = N1 + N2 = 3 + 18 = 21 (км/ч); @ s = 3(n₁ U n₂) = 3-21 = 63 (км).

Аналогично оформляется решение задач № 349, 350.

•

На четвертом уроке повторяются понятия уравнения, корня уравнения, решение уравнения, проверки решения уравнения; закрепляются уме­ния решать уравнения на основе взаимосвязей между результатом и компонентами действий; от­рабатывается умение решать задачи с помощью со­ставления уравнения.

Задания к уроку: № 351—354, 356, 359, 360, 364*, 365*, <№ 121, 123, 125>.

Тест

1. Уравнением называется:

а) числовое выражение, значение которого надо найти;

б) буквенное выражение, значение которого надо найти;

в) равенство с неизвестным, значение которого надо найти;

г) другой ответ.

2. Решить уравнение — значит:

а) найти все его корни;

б) убедиться, что корней нет;

в) найти все его корни или убедиться, что корней нет;

г) другой ответ.

3. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нуж­но:

а) к разности прибавить вычитаемое;

б) из разности вычесть вычитаемое;

в) разность умножить на вычитаемое;

г) другой ответ.

4. Из предложенных ниже записей уравнением является:

а) 2- - 17 = 33; б) 2- - 17; в) 2-25 - 17; г) нет уравнений.

5. Корнем уравнения 6х + 17 = 77 является число:

а) 5; б) 10; в) 15.

6. Число 25 является корнем уравнения:

а) 50 - х = 15; б) 5х = 100; в) х : 5 + 7 = 12.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. в). 2. в). 3. а). 4. а). 5. б). 6. в).

Комментарии к заданиям учебника

№ 351 выполняется фронтально. Если ученики допускают ошибки в чтении, им предлагается про­читать правило чтения.

В № 352 сначала обсуждается условие задания и ученикам предлагается ответить, какие еще равен­ства можно получить из условия. Эти равенства за­писываются на доске. Затем ученики выполняют задания. Перед тем как назвать корень уравнения, они должны сказать соответствующее правило на­хождения неизвестного компонента действия.

№ 353 выполняется устно.

В № 356 сначала с учениками обсуждается план решения каждого из уравнений, а затем некоторые из них ученикам предлагается решить. Так, в зада­нии 5 сначала выполняется действие в правой час­ти уравнения, а затем находится неизвестный мно­житель и, наконец, неизвестное слагаемое. Полез­но предложить ученикам вместо решения по действиям сразу записать корень уравнения выра­жением: х = (9758 + 16 114) : 84 - 296 = 12. Сами арифметические действия ученики могут выпол­нять в столбик. Аналогично делается запись в задании 6: х = 1971 : (234 • 109 : 117 + 439) = 3.

Оставшиеся уравнения этого номера можно за­дать на дом.

В № 359 при обсуждении условия задачи 1 уче­ники должны заметить, что меньше всех рыб пой­мал тот из рыбаков, который дал 5 рыб. Рыбак, давший 6 рыб, поймал на 1 рыбу больше, а рыбак, давший 8 рыб, поймал на 3 рыбы больше. После этого можно решать задачу уравниванием. Оформ­ляется решение задачи с помощью составления уравнения кратко.

При составлении уравнения главный вопрос — что принять за х. Общим для всех трех рыбаков является оставшееся у них количество рыб. Его и следует принять за х. Решение задачи можно оформить следующим образом.

ф По х рыб осталось у рыбаков. х U 5 U х U 6 U х U 8 = 64, 3х U 19 = 64, 3х = 45, х = 15. (2 15 U 6 = 21 (р.) — поймал первый рыбак. (3 15 U 8 = 23 (р.) — поймал второй рыбак. @ 15 U 5 = 20 (р.) — поймал третий рыбак.

Ответ: 21, 23 и 20 рыб.

Однако с учетом результатов, полученных при первоначальном обсуждении условия задачи, за х можно принять число рыб, пойманных третьим ры­баком. Тогда уравнение примет вид х U 1 U х U 3 U U х = 64, 3х U 4 = 64, 3х = 60, х = 20.

№ 360. Решение.

1. . Обозначим первое число буквой х, тогда вто­рое число равно х U 12, а третье — х U 12 U 12. Так как сумма трех чисел известна, составим уравне­ние: х U х U 12 U х U 12 U 12 = 72,

3х U 36 = 72,

3х = 36, х = 12.

Ответ: 12, 24, 36.

2. . Одно из чисел на 4 больше другого. Обозна­чим меньшее число буквой х, тогда другое число равно х U 4. Так как известна их сумма, составим уравнение: х U х U 4 = 58, 2х U 4 = 58, 2х = 54, х = 27. Большее число 27 U 4 = 31.

Ответ: 27 и 31.

Задание № 121 из рабочей тетради

Решите уравнение.

1. 22 + - + 158 = 250;

2. 400 - (200 + х) = 52;

3. 2(у + 25) = 150;

4. (у + 100) - 60 = 140;

5. 325 - (175 - -) = 200;

450 - 3х = 405

.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ № 121 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

1. - = 70; 2) х = 148; 3) у = 50; 4) у = 100; 5) - = 50; 6) х = 15.

Задание № 123 из рабочей тетради

Составьте уравнение и найдите задуманное чис­ло.

1 ) Задуманное число увеличили в 2 раза, резуль­тат увеличили на 124 и получили 450. Какое число задумали?

2. Задуманное число уменьшили в 12 раз, ре­зультат увеличили на 119 и получили 124. Какое число задумали?

3. Задуманное число увеличили на 104, а резуль­тат уменьшили в 3 раза, получилось число, которое на 27 больше 14. Какое число задумали?

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ № 123 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

1) 2- + 124 = 450, - = 163; 2) - : 12 + 119 = 124, - = 60; 3) (- + 104): 3 = 14 + 27, - = 19.

На пятом уроке закрепляются умения школьников в решении уравнений и задач с по­мощью уравнений.

Задания к у р о к у: № 355, 357, 358, 361*, 362*, <№ 122, 124.

Интеллектуальная разминка

1. Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения

?

3. Что значит решить уравнение?

4. Как найти:

а) неизвестное слагаемое; б) неизвестное умень­шаемое; в) неизвестное вычитаемое; г) неизвестное делимое; д) неизвестный делитель; е) неизвестный множитель?

5. 1) Решите уравнения

- + 3986 = 9704 и - - 5718 = 3986,

если известно, что 3986 + 5718 = 9704.

2) Решите уравнения

8845 : - = 29 и - : 305 = 29,

если известно, что 305* 29 = 8845.

1. Найдите закономерность в расположении чисел в первой строке таблицы и, используя ее, укажите пропущенное во второй строке число:

1)

ОТВЕТЫ К ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ РАЗМИНКЕ

5. 1) 5718, 9704; 2) 305, 8845. 6. 1) (13 + 17)- 2 = = 60, (23 + 14)- 2 = 74; 2) (26 + 14) : 2 = 20, (39 + + 23): 2 = 31.

Далее проводится подведение итогов урока и вы­полняются задания.

1. Подберите слово, которое означает:

а) четырехугольник и вторую степень числа; б) подземную часть растения и решение уравнения.

Ответы: а) квадрат; б) корень.

2. Восстановите цепочку слов, если концом пер­вого слова является начало второго:

а) КУЛЬТ(...)ВНЕНИЕ; б) МИЛЛИ(...)ОФОН.

Ответы: а) ура; б) грамм.

Затем можно выполнить задания № 122 и 124 из рабочей тетради

.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ № 122 И 124 ИЗ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ

3 122. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

3 124. 1. Икс. 2. Секунда. 3. Ар. 4. Радиус. 5. Сантиметр. 6. Равно. 7. Отрезок. 8. Килограмм. 9. Минус. 10. Сорок. 11. Куб. 12. Буква. 13. Акр. 14. Ребро. 15. Остаток. 16. Класс. 17. Скобки. 18. Игрек. 19. Корень.

Решение задач на смекалку

3 363 (1). За 15 с поезд проходит 450 м, значит, его скорость 30 м/с. За 35 с поезд пройдет 1050 м, это искомая длина моста и еще 450 м длины поезда, значит, длина моста 600 м.

(2). За 45 с поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе. Поскольку рас­стояние, равное своей длине, он проходит за 15 с, то длину моста в 450 м он проходит за 30 с, т. е. его скорость 450 : 30 = 15 (м/с).

«Свою длину» поезд «протягивает» мимо свето­фора за 15 с со скоростью 15 м/с, значит, его длина 15-15 = 225 (м).

3 364. Ответ: уравнение.

3 365. Составим разность: а - Ь = с. Составим сумму компонентов вычитания: а U Ь U с = 2008. Подставим во второе равенство значение с и полу­чим: а U Ь U а - Ь = 2008, 2а = 2008, а = 1004.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Тема: «Числовые и буквенные выражения»

Вариант 1

1. Выразите число:

а) килограммов в а центнерах;

б) квадратных метров в с арах.

2. Найдите значение выражения рациональным способом:

а) 315 - 38 - 62; б) 56-9 U 56.

3. Решите уравнение 52 - 3— = 7.

4. Длина прямоугольника а м, а ширина — b м. Длину уменьшили на 5 м, а ширину увеличили в 2 раза. Чему равна площадь полученного прямо­угольника?

Составьте буквенное выражение и найдите его значение при а = 13 м и b = 12 м.

5. Найдите величины смежных углов, если из­вестно, что один из них в 8 раз меньше другого.

6*. Проверьте, какое из чисел 2, 3, 4 является корнем уравнения х • х = 4х - 3.

Вариант 2

1. Выразите число:

а) килограммов в а тоннах;

б) аров в с гектарах.

2. Найдите значение выражения рациональным способом:

а) 738 - 47 - 53; б) 62 • 11 - 62.

3. Решите уравнение 4х - 16 = 36.

4. Длина прямоугольника т м, а ширина — п м. Длину увеличили в 3 раза, а ширину уменьшили на 4 м. Чему равна площадь полученного прямоуголь­ника?

Составьте буквенное выражение и найдите его значение при т = 1 2 м и п = 11 м.

5. Найдите величины смежных углов, если из­вестно, что один из них в 5 раз больше другого.

6*. Проверьте, какое из чисел 1, 2, 3, 4 является корнем уравнения х • х U 8 = 6х.

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 4

В—1. 1. а) 100а кг; б) 100с м². 2. а) 215; б) 560. 3. х = 15. 4. 2Ь(' - 5) = 24-8 = 192 (м²). 5. х U 8х = = 180°, 9х = 180°, х = 180° : 9, х = 20°, 180° - 20° = = 160°. 6. х = 3.

В—2. 1. а) 1000а кг; б) 100с а. 2. а) 638; б) 620. 3. х = 13. 4. 3т(п - 4) = 36-7 = 252 (м²). 5. х U 5х = = 180°, 6х = 180°, х = 180° : 6, х = 30°, 30° -5 = = 150°. 6. х = 2, х = 4.

Глава 3

Доли и дроби

12. ПОНЯТИЕ О ДОЛЯХ И ДРОБЯХ

Цели изучения данного пункта: изучить по­нятия: доля, дробь, числитель дроби, знаменатель дроби, правильная дробь, неправильная дробь, что показывает числитель, а что знаменатель дроби, а также научить читать дроби, записывать их и от­мечать на координатном луче; научить сравнивать доли и решать задачи на нахождение части от чис­ла и числа по его части.

На первом уроке повторяется понятие доли как части целого, закрепляются умения школьни­ков решать задачи с долями.

Задания к уроку: № 366-372, 391 (1, 2).

В начале урока проводится анализ контрольной работы с выделением общих успехов и неудач (фа­милии учеников не называются). Предлагаются ва­рианты устранения сделанных ошибок в решении и недочетов по оформлению работы.

Для учеников интересен вопрос о достижении целей, поставленных на первом уроке.

Кто-то ставил цель получить пятерку за конт­рольную работу. Получили ли они ее? Если нет, то почему? Кто-то ставил цель учиться решать нестан­дартные задачи. Какие у них результаты в реше­нии задач на смекалку? И т. д.

Какие новые цели ставят ученики, приступая к изучению новой главы? Цели могут повторяться или меняться в зависимости от полученных резуль­татов обучения. Цели могут быть записаны и сданы учителю, чтобы он знал и уровень притязаний уче­ников, и проблемы в развитии, воспитании или обучении, которые осознает ученик. Над достиже­нием указанных целей работает не только ученик, но и учитель старается оказать ему помощь и под­держку.

Устная работа

1. Почему арабская система счисления называ­ется десятичной?

2. 1) Сравните числа:

а) 2406 и 2409; в) 145 и 146;

б) 589 и 1200; г) а и с (рис. 40).

0 а 1 с Рис. 40

2) Скажите, каким правилом сравнения вы пользуетесь.

3. Вычислите:

а) 456 - 31 - 69; в) 482 U 177 U 18;

б) 874-99 U 874; г) 25-78-40.

№ 366 ученики могут выполнять в парах и запи­сать ответы в тетрадь. При фронтальном обсужде­нии выполнения заданий с классом ученики прове­ряют правильность своих ответов. Затем класс фронтально выполняет задания № 367—369.

При ответе на поставленные вопросы в № 369 по­лезно добиться от учеников обоснования ответов. Например, отрезок АН равен половине отрезка АВ, потому что отрезок АВ состоит из 12 частей, а отре­зок АН состоит из 6 таких же частей. Отрезок НВ тоже равен половине отрезка АВ. Список вопросов к данному номеру можно продолжить.

Дополнительные вопросы к № 369

1. Какую часть составляет отрезок EF от отрезка АС?

2. Какую часть составляет отрезок АС от отрез­ка: а) АВ; б) А5; в) АЕ; г) АН?

3. Какую часть составляет отрезок А5 от отрез­ка: а) А;; б) DF; в) CG; г) АН?

4. Какую часть составляет отрезок АЕ от отрезка АН?

5. Как узнать, какую часть составляет один от­резок от другого?

6. Как узнать, какую часть составляет число 3 от числа 6?

Итогом выполнения № 370 должен быть вывод, что чем больше частей, на которые делится отре­зок, тем меньше сама часть. Так, шестая часть от­резка MN самая маленькая часть из построенных отрезков, а вторая часть отрезка самая большая.

Задание в № 371 обратное к № 370, в нем требу­ется по части построить целый отрезок, от которого взята указанная часть. Подвести итог решения этих задач можно с помощью фронтальной работы по следующим вопросам.

1. Что общего и чем отличаются задания № 370 и № 371?

2. Как найти долю от целого?

3. Как найти целое по его доле?

Дальше ученики при решении задач в № 372 реализуют план поиска доли от целого и целого по его доле.

Решать задачи можно по действиям с поясне­ниями, но потом полезно записать решение выра­жением.

(2). 14 750 000 - 14 750 000 : 10 = 13 275 000 (км²).

(4). 17-4 - 17 = 51 (с.).

(6). 300 + 300 : 100 = 303 (р.).Завершается урок решением № 391 (1, 2). Если задания не успели выполнить, то можно предло­жить желающим выполнить их дома.

Домашнее задание. № 372 (1, 3, 5).

•

На втором уроке формируются представле­ния о дроби как о части целого, знания о правиль­ной и неправильной дроби, раскрывается смысл за­' и

писи ( , где а, о — натуральные числа.

Задания к уроку: № 373-378, 396, <№ 126—129>.

Устная работа

1. Найдите: 1) треть числа 24; 2) четверть числа 24; 3) половину числа 24; 4) двенадцатую часть числа 24.

Какая часть самая большая? Какая часть самая маленькая?

2. Найдите число, если его треть равна:

1) 2; 2) 3; 3) 10; 4) 14.

После выполнения устной работы школьники открывают учебники на с. 122 и рассматривают рисунок 113. Учитель по этому рисунку вводит по­нятие дроби (близко к тексту учебника).

Затем фронтально выполняется № 373.

В парах ученики выполняют № 374, ответы за­писывают в тетрадь, затем проводится фронталь­ная проверка.

Так же фронтально разбираются ответы на воп­росы по изображенному на доске рисунку 41.

А В С D Е F К Рис. 41 144

Задание «Найди часть отрезка»

Отрезок АК разделен на 6 равных частей точками В, С, D, Е, F. Какую часть составляет:

1. отрезок АВ от: а) АС; б) А5; в) АК;

2. отрезок АС от: а) АК; б) А5; в) А;;

3. отрезок А5 от: а) А;; б) ВК; в) С;;

4. отрезок АК от: а) АС; б) А5; в) АЕ?

По ходу ответов на вопросы учитель записывает на доске получившиеся дроби. Среди них есть правильные и неправильные дроби. Определение правильных и неправильных дробей записано в учебнике. Полезно обсудить со школьниками воп­рос: «Как вы думаете, как могло появиться назва­ние неправильная дробь?» Возможное объясне­ние заключается в том, что первоначально дроби рассматривались как части целого, а часть не мо­жет быть больше целого, значит, ситуация, кото­рую отражает дробь, например ⁴ , неправильная.

Ученики самостоятельно выполняют № 376, кто-то из них при этом может работать на боковой доске, чтобы затем быстро проверить у всего класса правильность выполнения задания.

После этого в тетрадях ученики выполняют № 377, при этом в парах можно советоваться и об­суждать решение.

Затем фронтально обсуждается № 378 и 396 и подводятся итоги урока.

Домашнее задание. № 375.

На третьем уроке отрабатываются умения сравнивать доли, находить доли от числа и число по его доле, закрепляются умения читать и записы­вать дроби.

Задания к уроку: № 379-384, 399*, <№ 130-135>.

Устная работа

. „ „ _г 1 3 7 15 29

1. Прочитайте дроби: j , ^ , цд , <22 , 100 .

2. Как называется число, стоящее в записи дро­би под чертой? Что оно показывает? Назовите эти числа. Какие числа стоят в знаменателях дробей? [Четные числа.]

3. Как называется число, стоящее в записи дро­би над чертой? Что оно показывает? Назовите эти числа. Какие числа записаны в числителях дробей? [Нечетные числа.]

Математический диктант

Запишите:

1. дробь, у которой числитель равен 5, а знаме­натель 7;

2. в виде дроби двадцать семь сороковых;

3. дробь, у которой числитель равен 9, а знаме­натель на 4 больше;

4. какую-нибудь неправильную дробь со знаме­нателем 4;

5. все правильные дроби со знаменателем 3;

6. количество правильных дробей со знаменате­лем 6;

7. количество неправильных дробей с числите­лем 2;

8. число 1 в виде дроби;

9. долю, которая меньше 5 ;

10. все доли, которые больше 4 .

Комментарии к заданиям учебника

№ 379 (1). Образец рассуждения.

Отрезки аАВ и CD составлены из равных отрез­ков, т. е. аАВ = 6 ед., CD = 8 ед., значит, аАВ = ⁶ CD.

№ 380. Образец рассуждения.

(1а). Единичный отрезок разделен на 6 равных

частей, значит, одна часть равна ^ , так как OA со­стоит из двух таких частей, значит, точка A имеет координату, равную . , что записывается AI. I.

(1 б). Единичный отрезок разбит на 5 равных час­тей, расстояние ОС равно шести таким частям, зна-

(5) •

писывается С

№ 381 (2). Образец рассуждения.

—

при которых дробь ⁸ будет неправильной — это 8,

На четвертом уроке формируется умение решать задачи на нахождение части числа, закреп­ляется материал пункта.

Задания к уроку: № 385—390, <№ 136>.

Тест

1. Число семь восьмых записывают в виде дроби так:

7 8

а) 8 / б) 7 ; в) другой ответ.

2. Отрезок СК составляет от ML (рис. 42):

м с . 7 L

Рис. 42 147

а) ³ ; б) ² ; в) другой ответ.

13

3. В записи 31 число 13 является: а) числителем; б) знаменателем.

4. Из долей 1 0Q 0 , 10 , 100 самая большая:

а) ¹ ; б) ¹ ; в) ¹ .

^а) 1000 ^{; б)} 10 ^{; в)} 100 .

5. Правильная запись сравнения долей 17 и 107 имеет вид:

₎ — = _J_. _б) 1 . ₎ 1 Л.

^а) 1 7 = 1 07 ^{; б)} 1 7 < 1 07 ^{; в)} 1 7 > 1 07 .

_а „ _й „ 7 1 9 2 0

о. Из дробей 5 , 19 , 21 правильной является:

_а) 1. _б) 19, _в) 20

^а) 5 ^{; б)} 19 ^{; в)} 21 .

7. Координата точки А (рис. 43) равна:

А

I—I—I—I—I—•—I— 0 1 Рис. 43

15 а) 5; б) ₅ ; в) ₆ .

7. Длина веревки 24 см. Отрезали четвертую часть. От веревки отрезали:

а) 6 см; б) 4 см; в) 8 см.

7. Взяли 10 книг, что составило треть всех книг, стоявших на полке. На полке стояло:

а) 13 книг; б) 21 книга; в) 30 книг; г) другой от­вет.

7. Если а — натуральное число, то дробь ^а ^ ¹ : а)неправильная; б) правильная; в)не знаю.

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

1. а). 2. б). 3. а). 4. б). 5. в). 6. в). 7. в). 8. а). 9. в). 10. а).

К о мментарии к задачам учебника

В № 387 задания распределены в строки по пра­вилу: в первой строке находят доли от величин, во второй строке - правильные дроби, а в третьей - неправильные дроби. Задания распределены в столбцы по правилу: в первом столбце используют­ся единицы длины, во втором - единицы времени, в третьем — единицы массы.

№ 388 (1). Оформление решения. @ 45 : 9 = 5 (мин) — приходится на одну часть. (2 5*2 = 10 (мин) — приходится на две части. Ответ: 10 мин.

№ 388 (2). Оформление решения. @ 10 : 5 = 2 (з.) — приходится на одну часть. @2 • 4 = 8 (з.) — приходится на четыре части. (3 7 <8 < 9, значит, будет выставлена оценка 4. Ответ: оценка 4.

№ 389 (1). Образец рассуждения. Длина отрезка КЬ: а) в 2 раза меньше длины от­резка MN, значит, КЬ = ^ MN; б) в 4 раза меньше

отрезка TS, КЬ = 4 TS; в) в 3 раза меньше отрезка

е;, кь = 3 е;.

На пятом уроке формируется умение решать задачи на нахождение числа по его части.

Задания к уроку: № 391 (3—6), 392, 393, 395.

В начале урока ученики выполняют математи­ческий диктант, в котором они должны записать номера правильных утверждений и из них соста­вить число.

Математический диктант

Запишите число, составленное из номеров вер­ных утверждений. 7

1. Дробь 7 — правильная.

2. Числитель дроби Ц¹ равен 11.

3. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое.

4. Дробь правильная, если числитель больше знаменателя.

5. Один ар составляет одну сотую гектара. ₆ _1_ _D _1_

⁶ 107 117.

7. 5 от числа 45 равна 9.

8. Пятая часть числа 48 равна 8.

₅

7. Координата точки В равна 4 (рис. 44).

В

I—I—I—I—I «—I— 0 1

Рис. 44 ₃

7. Число 9 составляет 7 от числа 21. Ключ: 23 567 910.

Комментарии к заданиям учебника

№ 393 (1). Решение. ф 150 : 5 = 30 (кг) — приходится на одну часть. (2 30 • 3 = 90 (кг) — приходится на три части. Ответ: съели 90 кг фруктов.

№ 393 (2). Решение. ф 150 : 3 = 50 (кг) — приходится на одну часть. (2 50 *5 = 250 (кг) — приходится на пять частей. Ответ: закуплено 250 кг фруктов. № 395. Образец рассуждения.

5

Длина отрезка LK составляет 3 от длины отрез­ка MN — это значит, что отрезок MN разделен на 3 равны1е части, а отрезок LK состоит из пяти та­ких частей. Значит, отрезок MN состоит из трех

₃

пятых долей отрезка LK и MN = 5 LK.

На шестом уроке повторяется и закрепляется материал пункта.

Задания к уроку: № 394, 397*, 398*.

Самостоятельная работа Вариант 1

1. Постройте координатный луч с единичным от­резком 8 клеток тетради и отметьте на нем точки:

K ( 3 ) • L (1 )^, M ( 3 ). N ( 8 ).

2. Сравните доли — J и — J .

3. Запишите дробью, какую часть года составля­ют 5 месяцев.

4. Длина прямоугольника равна 64 см, что со­ставляет 15 его периметра. Найдите ширину пря­моугольника.

5 9

5. Найдите сумму . от числа 42 и 7 от числа 56.

Вариант 2

1. Постройте координатный луч с единичным от­резком 12 клеток тетради и отметьте на нем точки.

S (А). т (2), : (3), л (12).

2. Сравните доли 245 и 4 .

3. Запишите дробью, какую часть века составля­ют 3 года.

4. Ширина прямоугольника 42 см, что составля­ет 13 его периметра. Найдите длину прямоуголь­ника.

87

5. Найдите разность ₅ от числа 45 и ₈ от чис­ла 72.

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ раБОте

^В-¹. ². 14 ^D 1347. ³. 12. ⁴. ⁵⁶ см. ⁵. ¹⁰⁷.

^В-².².204 < 4 ³. т. ⁴.⁴⁹ см. ⁵.⁹.

Самостоятельная работа завершается взаимной проверкой ее учениками, в случае затруднений за­дание рассматривается со всем классом.

Затем выполняются задания из учебника.

В № 394 ученики могут решать задачи составле­нием выражений — так решены задачи 1, 2, 4, 5 и 6, или решать по действиям, как задачу 3.

1. . 15 : 3*5 - 15 = 10 (т.). Ответ: 10 тетрадей.

2. . 400 : 2-9 = 1800 (мл). Ответ: 1800 мл.

3. . В этой задаче надо помнить, что целое при­нимается за единицу.

@ 1 - I = I всех яблок оставалось в магазине.

ф 100 : 2-5 = 250 (кг) — завезено. ф 250 - 100 = 150 (кг) — продали. Ответ: 150 кг, 250 кг.

4. . 6 : 2-3 - 6 = 3 (км). Ответ: 3 км.

5. . 56 - 56 : 8-7 = 7 (с.) Ответ: 7 семян.

6. . 78 : 6-7 -78 = 13 (с.) Ответ: 13 семян.

Решение задач на смекалку

3 397.

ф 90 : 15 = 6 (см) — усадка ткани по ширине.

ф 90 - 6 = 84 (см) — ширина данного куска ткани после стирки.

ф 3 780 000 : 84 = 45 000 (см) — длина куска тка­ни после стирки.

@ 45 000 : 15-16 = 48 000 (см) = 480 (м) — длина куска ткани до стирки. Ответ: 480 м.

1357

3 398 (1). У дробей ^ ; 44 ; 6 ; 8 в числителе сто­ят последовательные нечетные, а в знаменателе — последовательные четные натуральные числа. Дру­гими словами, числитель и знаменатель предыду­щей дроби увеличиваются на 2.

^Ответ: 10^; м.

(2). У дробей ¹; |; 4; 5 в числителе стоят

последовательные числа натурального ряда, а в знаменателе — числа на единицу большие, чем в числителе. Другими словами, числитель и знаме­натель следующей дроби получается из числителя и знаменателя предыдущей дроби увеличением на 1 .

Ответ: 6 ; 7 .

1 3 5 7

(3). В записи дробей ^ ; 4 ; 8 ; каждая следую­щая дробь получается из предыдущей увеличением числителя на 2, а знаменателя в 2 раза.

^Ответ: 32 ^; 64.

3 399. Ответ: например, ^{6 0 8 0 9},

90806 906

13. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.

УМНОЖЕНИЕ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО

Цели изучения данного пункта: сформиро­вать у учеников знания правил сложения и выгаи- тания дробей с равными знаменателями, правил умножения дроби на натуральное число, сформи­ровать умения складывать и вычитать дроби с рав­ными знаменателями, а также умножать дробь на натуральное число.

На первом уроке изучаются правила сложе­ния и вычитания дробей с равными знаменателя­ми.

Задания к уроку: № 400—408, 420*, <№ 137—140>.

Устная работа

Какое число лишнее:

i₎ 5 9 _Л 7 35_;

1. 7^, 1 3 ^{, 1,} 1 0 ^, 3 1 ^;

5 7 9 1 00 1 2 .

3. 5 ^, 6 ^, 8 ^, 99 ^, 100 '

4. 18 34 10 90 214 _#

   4. 9 ^, 17 ^, 2 ^, 45 ^, 107 ' 16 18 28 25 45 _р

   5. 8 ^, 6 ^, 7 ^, 4 ^, 9 '

ОТВЕТЫ К УСТНОЙ раБОте

1. Число 1 лишнее, так как оно натуральное, а все остальные числа дробные.

2. Число ₅⁶ ₉³ лишнее, так как это неправильная дробь, а все остальные дроби правильные.

3. Число 100 лишнее, так как это правильная дробь, а все остальные неправильные.

4. Число ¹⁰ лишнее, дробь равна 5, а все осталь­ные дроби равны 2.

5. Число ¹₄⁵ лишнее, так как эта дробь не равна натуральному числу, а все остальные равны.

К о мментарии к заданиям учебника

Изучение нового материала начинается с фрон­тальной работы по рисунку 120. Объяснение учи­теля должно быть близко к тексту учебника.

Затем выполняются некоторые задания из № 400 и формулируются правила сложения и вы­читания дробей с равными знаменателями. Прави­ло вычитания можно сформулировать следующим образом: «При вычитании дробей с равными знаме­нателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним».

Полезно предложить школьникам несколько раз повторить формулировки правил при выполнении

последующих заданий на сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.

№ 401 выполняется письменно, но результаты фронтально обсуждаются.

В № 402 лишняя сумма в задании в), так как она дает неправильную дробь.

В № 403 лишняя разность в задании г), только она равна нулю.

№ 404. Образец рассуждения.

1. . Чтобы найти координату точки М, нужно

13

сложить ₆ и ₆ , потому что от точки с координатой

13 ₆ происходит сдвиг вправо на ₆ .

Ответ: М ^ 4 ).

2. . Координата точки N получается сдвигом

35

влево на ₆ от точки с координатой ₆ , т. е. чтобы

53

найти координату точки N, нужно из ₆ вычесть ₆ . Ответ: N^² ).

В № 405 важно обратить внимание на то, что длина отрезка координатного луча, измеренная в координатных единицах, равна разности большей и меньшей координат концов отрезка. Здесь эта разность равна координатной единице, значит, длина отрезка равна 15 см.

В № 406 школьникам предлагается попытаться выполнить действия устно. Если у кого-то из уче­ников это вызывает трудности, можно разрешить им вычислить в столбик.

В № 407 сначала следует записать выражение, а потом найти его значение.

№ 408 (1) можно либо решать по действиям, ли­бо сразу составлять выражение.

Способ 1.

® ¹ - d⁺5)=I /

ф 50 : 5 = 10 (кг).

Способ 2. 50 - 50 : 5- 3 - 50 : 5 = 50 - 30 - 10 = 10 (кг). Ответ: 10 кг.

•

На втором уроке изучается правило умноже­ния дроби на натуральное число, закрепляются умения складывать и вычитать дроби с равными знаменателями.

Задания к уроку: № 409—415, 421*, <№ 142—144>.

Интеллектуальная разминка

Ответьте на вопросы.

1. Что такое дробь? (Могут быть разные ответы:

т ⁽ „ )

запись вида ^-_п , одна или несколько долей. ₎

2. Чем дробь отличается от доли?

3. Какие дроби называют правильными?

4. Какие дроби называют неправильными?

5. Как сравнить две доли?

6. Как сравнить две дроби с равными знаменате­лями?

Графический диктант

Если утверждение верно, то запишите знак «Л», если утверждение неверно, то запишите знак « ».

_п2 „Л 00 .

1. 3 — правильная дробь; 3) юр = 1/

141 1 1

2. Ц4 — правильная дробь; 4) 4 > 5 ;

3. 1. 6 < ?;

6 8

2. 13 < 13 ^;

3. 12 _ X = А.

⁷⁾ 19 19 19^;

Ответ: л лл лл л

Учитель предлагает план урока, который представлен в виде графической схемы, составлен­ной учениками. Пики на схеме обозначаются или начальными буквами слов, или полными словами.

Разминка Диктант Знания Учебник Смекалка Тест

К данному моменту урока разминка уже про­шла, графический диктант закончился, и ученики переходят к изучению нового материала. После этого проводится работа по учебнику, выполняются № 409—415 и решается задача на смекалку № 421.

Комментарии к заданиям учебника

В № 409 полезно предложить школьникам про­читать уравнения вслух.

Задания 1 и 2 в № 410 выполняются устно. Опрашиваемый ученик сначала читает уравнение, затем говорит, чем является в нем х, и, наконец, устно находит корень. Уравнения 3 и 4 решаются письменно на доске с предварительным проговари- ванием плана вычислений.

₈₎ 5 + ² = ⁷­⁸⁾ 3 ⁺ 3 = 6;

лируется правило умножения дроби на натураль­ное число.

После этого продолжается выполнение заданий из учебника.

№ 411, 412 выполняются устно. На первых по­рах полезно предлагать ученикам проговаривать правило перед выполнением вычислений.

В № 413 задания 1, 2 выполняются устно; за­дания 3, 4 с предварительным озвучиванием плана вычислений и выписыванием на доске промежу­точных результатов.

В № 414 полностью переписывать задание не нужно. Например, в задании 2 записи могут быть такими:

6 7 3 0 4 9 7 9

kd + ml = 79 *⁵ + Т9-⁷ = 79 + 79 = 79 = ¹.

В № 415 (1) важно обсудить вопрос: «В случае какого результата умножения можно сделать вы­вод о том, что турист успеет пройти маршрут?» Образец оформления решения.

3 9 9

а) 12 ' 3 = 12 (м), 12 с 1 — не пройдет;

3 12

б) 12 '4 = 12 = 1 — пройдет.

Ответ: а) не пройдет; б) пройдет.

Задание 2 решается аналогично заданию 1.

В задании 3 сначала надо найти, какую часть

прошел автобус за первые 2 ч, а затем — какую

часть за третий час. После этого найти весь путь и,

наконец, получить ответ.

В № 415 (4) полезно рассмотреть два способа.

Способ 1.

/Л», 2 34 • 2 68 ,,,

(1 34* 17 = 1 7 =17 = 4 (уч.)— занимаются

гимнастикой.

(2 4*3 = 12 (уч.) — лыжники.

©34 - 4 - 12 = 18 (уч.) — не посещают секций.

Способ 2.

Найдем, какая часть учеников не занимается в 17 2 _ 2 17 - 2 - 6 9 _Л7 секциях: 11 - ц - 3' Ц ⁼ 17 ⁼ 17 . ^узнаем,

из скольких учеников класса эта часть состоит:

9 34>9 34 34- 17 = 4^е = 4 '9 = 2-9 = 18 (уч.).

Ответ: 18 учеников.

В конце урока проводится тест, при выполнении которого ученики должны составить слово из букв, соответствующих верным ответам.

Тест

1 0 1 9 9

1. Сравните дроби 100 и 100 .

.101 = 99 , 101 99. _: 101 99. ^A' 1 00 1 00 . ¹ 1 00 > 1 0 0 . ^: 1 0 0 < 1 00.

75

2. Выполните действие 13 + 13 .

МАТЕМАТИКА 1

о а о 44

Д С7 а 44

\аа/ 55

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

В—1. 1. б). 2. б). 3. а). 4. в). 5. б). В—2. 1. а). 2. б). 3. а). 4. в). 5. а).

К о иментарии к заданиям учебника

В № 416 ответы школьники находят устно. В № 417 школьники должны предварительно сказать, каким действием находится число, кото­рое «больше на», «меньше на» или «больше в». Вы­числения проводятся устно.

В № 419 квадрат школьники должны изобразить в тетради, а не записывать числа в учебник.

Решение задач на смекалку 123

3 420 (1). У дробей ^ ; ^ / 12 числитель уве­личивается на 1, а знаменатель равен 12.

^0твет: 12 ^; 12.

(2). У дробей 19 ; 19 ; 19 числитель увеличивает­ся в 2 раза, а знаменатель равен 19. 16 32 ^0твет: 19 ^; 19.

1 7 1 4 1 1

(&). У дробей 23 ; 23 ; 23 числитель уменьшается

на 3, а знаменатель равен 23. ^0твет: _{2 3} ^; _{2 3} ^.

3 421. Примем массу головки сыра за х кг. По

4 2

условию задачи составим уравнение: х = 5 х + 5.

После умножения обеих частей уравнения на 5, по­лучим: 5х = 4х + 2, х = 2. 0твет: 2 кг.

3 422. Запишем первоначальную дробь как (. Прибавим к числителю знаменатель и получим но­вую дробь ' ( ⁽. Узнаем, на сколько изменилась

дробь: - ' = ( = 1. Дробь увеличилась на 1.

3 423. Так как знаменатели дробей равные, то будем обращать внимание только на числители и подберем числа, удовлетворяющие двойному нера­венству 1 < — - 2 < 5. Если — = 2, то получим, что 2 - 2 = 0 < 1. Будем увеличивать значение — и под­ставлять в двойное неравенство.

Ответ: 3, 4, 5, 6.

14. ТРЕУГОЛЬНИКИ

Цели изучения данного пункта: сформиро­вать у учащихся знания формул площади прямо­угольного и произвольного треугольников, позна­комить с формулировкой теоремы Пифагора; сфор­мировать умения вычислять площадь треугольни­ка по формуле, находить гипотенузу и катеты по теореме Пифагора.

На первом уроке изучаются формулы площа­ди прямоугольного треугольника и произвольного треугольника, а также понятие высоты треуголь­ника; рассматривается формула суммы углов тре­угольника.

Задания к уроку: № 424—434, 447*, 450*, <№ 148—150>.

В начале урока проводится математический дик­тант с целью повторения материала.

Математический диктант

в Запишите число, составлен­ п

1. Треугольник ABC — прямоугольный.

2. Z DAC — острый.

3. Z DAB — тупой.

4. Z B — прямой.

5. Z D — тупой.

6. Фигура ACD — многоугольник.

7. AC > AB U BC.

8. Z DCA U Z ACB = Z DCB.

9. Z ACD = Z CAB.

10. 

    P_ABCD = AB U BC U CA U AD U DC. Ключ: 1 245 689.

Комментарии к заданиям учеб ника

В № 425, перед тем как находить площади фигур, следует обсудить, из каких элементов они состоят. Так, ученики должны увидеть пря­мые углы, прямоугольники, пря­моугольные треугольники, парал­лельные отрезки. При обсуждении можно ввести термин «трапеция» для четырехугольников а) и б), а затем обсудить вопрос о сумме углов, прилежа­щих к боковой стороне трапеции с помощью рисунка 46.

В № 426 вывод формулы площади треугольника также следует начинать с обсуждения рисунков. Школьники должны увидеть, что площадь тре­угольника можно выразить как сумму или раз­ность площадей прямоугольных треугольников. Все треугольники должны быть учениками пра­вильно названы. Комментируя вывод формулы площади треугольника, ученики должны объяс­нить, как осуществлен переход от одного выраже­ния к другому. При этом полезно, чтобы ученики проговорили правило сложения или вычитания дробей с равными знаменателями.

После введения понятий высоты и основания треугольника формулируется правило вычисления площади треугольника.

Полезно провести парную самостоятельную ра­боту по вычислению площади треугольника.

Задание «Площадь треугольника»

Ученик изображает треугольник в тетради свое­го соседа по парте, а затем в своей тетради на рисунке, сделанном его соседом, с помощью уголь­ника проводит высоту треугольника, выполняет измерения и вычисления. Затем ученики проверя­ют работы друг друга. Учитель подходит к учени­кам, испытывающим трудности, и помогает им вы­полнить работу.

После этого внимание класса обращается на рисунок 123 учебника в самом начале пункта, а учитель делает этот рисунок на доске. Школьни­кам предлагается ответить на серию в о п р о с о в.

Устная работа

1. Есть ли на рисунке 123 учебника равные ост­рые углы? (Ученики называют пары равных углов, а учитель на доске эти углы отмечает дужками.)

2. Чему равна сумма углов ADB и CDB?

3. Чему равна сумма углов ADB и ABD?

4. Какой вывод о сумме острых углов прямо­угольного треугольника можно сделать?

штриховыми линиями разбивает пятиугольник на треугольники (рис. 47).

В № 430 предварительно записываются выраже­ния.

а) 180° - 48° - 59° = 73° — остроугольный тре­угольник;

б) 180° - 20° - 20° • 2 = 120° — тупоугольный тре­угольник;

в) 180°-(9 - 9 - 9) = 180°* 6 = ^ = 180°

= —9— • 6 = 120° — тупоугольный треугольник.

Аналогично выполняется № 431. Здесь полезно дополнительно ставить вопрос о классификации треугольников по равенству сторон.

1. 180° : 3 = 60°.

Ответ: 60°, 60°, 60°, равносторонний.

2. 90° : 2 = 45°.

Ответ: 90°, 45° и 45°, равнобедренный.

3. (180° - 40°): 2 = 70°.

Ответ: 40°, 70° и 70°, равнобедренный.

Задание 4 можно решить по действиям. Найдем

12 9 от суммы всех трех углов: 180° : 9 = 20°. Тогда 9

от суммы составляют 40°, а второй угол 80°. Третий угол найдем как разность 180° - 40° - 80° = 60°. Ответ: 40°, 80° и 60°, разносторонний.

Домашнее задание: № 424, 429, 432 (уст­но), 433 (1); на нелинованном листе бумаги начер­тить треугольник и найти его площадь в мм².

•

На втором уроке закрепляется умение нахо­дить площадь и углы треугольника, изучаются по­нятия ромба и дельтоида.

Задания к уроку: № 435—439, 445*, 446*, <№ 151 —155>.

Проверку домашней работы можно начать с под­готовленных школьниками на отдельных листах треугольников. Используется взаимопроверка. Уче­ник берет треугольник своего соседа по парте, про­водит другую высоту, проводит измерения и вычис­ляет площадь. Затем сверяет свой результат со зна­чением площади этого треугольника, которое его сосед получил дома. Если расхождение большое, то проверяет, правильно ли его сосед провел высоту, сделал необходимые измерения и вычисления.

Затем ученикам предлагается математический диктант.

Математический диктант

1. Существует ли треугольник со сторонами 2, 3 и 4 см?

2. Существует ли треугольник с углами 30, 40 и 50°?

3. Найдите площадь прямоугольного треуголь­ника с катетами 5 и 4 см.

4. Найдите площадь треугольника, если извест­но, что сторона треугольника равна 6 см, а высота, проведенная к ней, — 5 см.

5. Запишите величины углов прямоугольного равнобедренного треугольника.

6. Найдите периметр треугольника, если его сто-

423

роны равны ₇ , ₇ , ₇ м.

7. Найдите периметр равностороннего треуголь-

3

ника, если его сторона равна _{1 1} м.

8. Найдите величину угла треугольника, если

5

известно, что он равен ₉ суммы всех углов тре­угольника.

9. Сторона треугольника 1 40 см, что составляет G0 периметра треугольника. Чему равен периметр

треугольника?

10. В равнобедренном треугольнике боковая сто­рона равна 5 его периметра. Найдите стороны тре­угольника, если его периметр равен 60 см.

ОТВЕТЫ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ДИКТАНТУ

1. Да. 2. Нет. 3. 1 0 см². 4. 1 5 см². 5. 90°, 45°, 45°. 6. 7 м. 7. 9 м. 8. 1 00°. 9. 400 см. 10. 1 2 см, 24 см, 24 см.

После обсуждения ответов к диктанту (не забы­вайте, что ваши ученики должны пользоваться сиг­нальными карточками) проверяется решенная до­ма задача N 4ЭЭ ( 1 ), а затем решаются другие зада­чи этого номера.

К о мментарии к заданиям учебника

N 4ЭЭ. Решение.

( 1 ). Пусть первый угол х, тогда второй равен х + + 20°, их сумма х + х + 20° равна 80°. Составим уравнение: х + х + 20° = 80°, 2х = 60°, х = Э0° — первый угол, Э0° + 20° = 50° — второй угол, 1 80° - - Э0° - 50° = 1 00° — третий угол.

Ответ: Э0°, 50°, 1 00°.

(2). Пусть меньший угол х, тогда средний угол равен 2х, а самый большой угол равен Эх. Зная, что в сумме все углы дают 80°, составим и решим уравнение: х + 2х + 3х = 1 80°, 6х = 1 80°, х = H0° — первый угол, H0°*2 = 60° — второй угол, 30°•3 = = 90° — третий угол.

Ответ: H0°, 60°, 90°.

(5). Пусть первый угол х, тогда второй угол ра-

44 вен 9 х, а третий угол равен 9 х + 1 0°. Так как сум­ма углов треугольника равна 180°, составим урав­нение:

х + 4 х + 4 х + 10° = 180°, 9 х + 9 х + 4 х = 170°,

17 х = 170°, х = 90°.

При нахождении корня уравнения ученики мо­гут рассуждать следующим образом. В левой части семнадцать одинаковых частей, каждая из кото­рых является девятой долей х. Значит, на одну часть приходится 10°. Сам же х в 9 раз больше, т. е. 90°.

Далее мы можем найти углы по их сумме 90° и

4

разности 10° (способом уравнивания) или найти ₉

от 90° и выполнить дополнительное действие. 90° : 9- 4 = 40. 40° + 10° = 50° — третий угол. 0твет: 90°, 40°, 50°.

В № 435 после разрезания прямоугольника по­лучилось четыре равнобедренных треугольника, причем боковые стороны у них одинаковые. Из лю­бых двух можно сложить квадрат, значит, эти тре­угольники прямоугольные. Следовательно, все че­тыре треугольника равны, а исходный прямоуголь­ник был квадратом. № 436 (4). Решение.

Пусть угол при основании равен х, тогда угол между боковыми сторонами 6х. Получаем уравне­ние: х + х + 6х = 180°, 8х = 180°, 2х = 45°, х = ,

180° - 45° = 135°.

45 ° 45 ° 0Твет: 4 25 °, 425 °, 135°.

№ 438 можно дополнить вопросами. 1) Чему равна площадь треугольника ABD? B D • A Н - 2) Чему равна площадь треугольника CBDP

-BD • СН - . 2

Записи, как результат обсуждения, учитель про­изводит на доске^ Ученики в тетрадях их либо вооб­ще не делают, либо запишут после завершения ра­боты с задачей

Площадь четырехугольника ABCD в задании 5

BD 'АН , BD- СН можно найти так: 2 U 2 ⁼

_ BD-АН U BD • СН = BD(АН U СН) = BD-AC = 2 = 2 =2 •

В задании 6 вывод должен быть следующим: площадь четырехугольника, диагонали кото­рого взаимно перпендикулярные, равна полови­не их произведения.

С помощью этого вывода решается задача № 439^ Ее можно решать устно способом уравнивания, но можно и письменно, составляя уравнение^

№ 439^ Решение^

Обозначим одну диагональ буквой —, вторая бу­дет равна х U 15, их сумма х U х U 15 равна 93^ Со­ставим уравнение и решим его:

х U х U 15 = 93, 2х U 15 = 93, х = 39 (см) — од­на диагональ; 39 U 15 = 54 (см) — другая диагональ; 39*54 : 2 = 1053 (см²) — площадь ромба^

Ответ: 1053 см²^

•

На третьем уроке формируется понятие тео­ремы, изучается теорема Пифагора^

Задания к уроку: № 440—444, 448*, 449*, <№ 156—159D

Решение задач на смекалку

3 445. Квадрат, чтобы иметь площадь 16 см², должен иметь сторону 4 см. Периметр квадрата бу­дет равен 4-4 = 16 (см).

Прямоугольник с разными сторонами, площадь которого равна 16 см², может иметь стороны 1 и 16 или 2 и 8 см. В первом случае периметр равен 2(1 + + 16) = 34 см, во втором случае 2(2 + 8) = = 20 см.

Прямоугольный треугольник может иметь кате­ты: 1 и 32, 2 и 16, 4 и 8 см. Понятно, что гипотенуза треугольника длиннее большего катета. Поэтому периметр треугольника с катетами 1 и 32 см больше, чем 1 + 32 + 32 = 65 (см).

При решении данной задачи полезно дополни­тельно рассмотреть вопрос о том, может ли сущест­вовать прямоугольный треугольник с площадью 16 см², все стороны которого выражаются нату­ральными числами сантиметров.

Ответ: наименьший периметр у квадрата, на­ибольший у прямоугольного треугольника с кате­тами 1 и 32 см.

3 446. Ответ: нельзя составить фигуру г).

3 447. Обозначим вершины прямоугольника и треугольника, как показано на рисунке 48. Так как одна сторона прямоугольника aABCD содержит 8 ед., а другая — 6 ед., то площадь прямоугольника

равна 8-6 = 48 (ед.²).

Рис. 49 Рис. 50

Остается узнать, чему равна площадь одной клетки. С помощью линейки выясняем, что она

равна J см². Значит, площадь треугольника в см²

равна J '23 = ²³ (см²). л 23 ₂

Ответ: —т см².

4

3 448. Построим тупоугольный треугольник АВС (рис. 49). Из вершины С проведем отрезок СО, не доводя его до пересечения со стороной. Так как если он пересечет сторону, то один из образо­вавшихся треугольников окажется тупоугольным или прямоугольным (что нас не устраивает, так как задача по сути дела сведется к первоначальной). Чтобы треугольники с общей вершиной О были остроугольными, нужно провести пять отрезков до пересечения со сторонами треугольника, так как сумма углов при этой вершине равна 360°. Точки пересечения отрезков со сторонами треугольника АВС соединим. Все полученные треугольники ост­роугольные.

3 449. Соединим вершины нижних лучей звез­ды (рис. 50). Углы 2, 4, 5 вместе с «лишними» уг­лами 6 и 7 в сумме дают 1 80°. Но сумма углов 6 и 7 равна сумме углов 1 и 3, так как вместе с равными вертикальными углами М в соответствующих тре-

\ угольниках они составляют 180°. Зна-

I ^ чит, сумма всех пяти пронумерован-

¹ \ ных изначально углов равна 180°.

\ 3 450. Один из катетов закрашен-

—|—ного прямоугольного треугольника в два раза меньше стороны квадрата, по­этому произведение катетов в 2 раза меньше площади квадрата (рис. 51).

j Кроме того, площадь прямоугольного

_{Рис. 51} треугольника равна половине произве­дения катетов. Значит, она равна по­ловине от половины площади квадра­та, т. е. ¹₄ его площади, значит, площадь большей

3

части составит площади квадрата.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 Тема: «Доли и дроби»

Вариант 1

1. Постройте координатный луч с единичным от­резком в 15 тетрадных клеток. Отметьте на нем точки:

•1 7 >

.( 4 > 1 > 1 5 > „( 1 7 ^A115 / ^B13/ ^D115 / >115.

2. Какую часть составляют:

а) 13 м² от ара; б) 7 кг от тонны?

2. Вычислите:

₎ _9_ , _7__{; б)} 15 _s _7 _{; ) 8}

^а) 1 7 ^U 1 7 ^{; б)} 23 23 ^{; в)} 9 3

2. Сравните числа:

,1 1 1 11 3 ч ! 8

угол составляет 3 от первого. Найдите третий угол

5. Один угол 2треугольника равен 60°, другой ол составляе ² треугольника.

Вариант 2

1. Постройте координатный луч с единичным от­резком в 12 тетрадных клеток Отметьте на нем

^{точки: А}(^ ), ^B (| ), ^D (g ), Е (Щ ) •

2. . Какую часть составляют:

а) 111 м² от гектара; б) 9 кг от центнера?

3. . Вычислите:

8 7 F 7 8 9 ^а) 1 9 ^U 1 9 ^{; б)} 2 5 2 5 ^{; в)} 5 5

4. Сравните числа:

,1 1 _ 1 5 6 _ч 9 ,

^а) 12 ^и 21 ^{; б)} 22 ^и 22 ^{; в)} 10 ^{и 1}

5. . Один угол треугольника равен 50°, что состав­ляет ³ от второго угла^ Найдите третий угол тре- угольника^

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 5

т> -а о ч _UL «ч _JL_ о ч 16 ~ _8_ ч 56 ^в—1. ⁴ . ^а) _г00 ^{а; б)} ! 000 ^{т 3 а)} 1 7 ^{; б)} 2 3 ^{; в)} 93 •ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА 1

о а о 44

Д С7 а 44

\аа/ 55

1 33 1 л 23 63_; ²⁾ 4 7 ^, 2 ^, 1 00 ^, 38 ^, 59 ^;

2 '

3111 9 15 9

4^1—2 • ² • ^а) 1 0 000 ^{га; б)} 100 '• ³ • ^а) 19 ^{; б)} 25 ^;

26