Экзаменационный билет №_22

1. Способ вспомогательных эксцентрических сфер.

1. Построить линии пересечения тора и конуса вращения (смотри чертеж)

2. Ответить на следующие вопросы:

а) на чем основан способ сфер;

б) как находится центр вспомогательных сфер в данной задаче;

в) как определялись точки, принадлежащие линии пересечения;

г) в каких случаях может быть использован способ эксцентрических сфер.

Отмечаем точки видимости А и В в пересечении контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Для построения случайных точек здесь нельзя воспользоваться способом концентрических сфер, так как, хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i¹ и i² не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i² конической поверхности, можно найти сколько угодно случайных точек линии пересечения.

Действительно, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i¹, имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i¹. Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут находиться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С¹, С², С³, ... Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О¹, О², О³, ... пересечения этих перпендикуляров с осью.i². конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

На рис. 6 проведены три эксцентрические сферы из центров О¹, О² и О³, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 - 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i¹(i₂¹), и из его центра С¹ (C₂¹) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке O¹ (O₂¹) пересечения перпендикуляра с осью i²(i₂²) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке O¹ (O₂¹) такого радиуса R, чтобы ей принадлежала окружность 3 - 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 - 2, определит в пересечении окружностей 1 - 2 и 3 - 4 искомые точки М и N Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М₁ и N₁ точек М и N построены при помощи параллелей f₁и f₂ поверхности тора. Точки видимости Р и Q конической поверхности для плоскости П₁ построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i² конуса.

Экзаменационный билет №_23

1. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка:

а) порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей

б) порядок линии пересечения двух поверхностей второго порядка в общем случае;

в) три теоремы, определяющие распадение кривой линии пересечения 2-х поверхностей второго порядка на кривые линии более низких порядков( каждую теорему иллюстрировать комплексным чертежом).

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и ещё по одной кривой, которая тоже является плоской.

Круговой конус и цилиндр второго порядка имеют общее круговое основание m(m₁, m₂). Значит, эти поверхности пересекаются по одной плоской кривой. Вторую кривую пересечения найти легко, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна плоскости проекций П₂, а поэтому искомая кривая на этой плоскости изобразится одной прямой. Для её построения достаточно двух точек – А(А₂) и В(В₂). Следовательно, вторая часть линии пересечения будет частью эллипса АВ(А₂В₂); по её фронтальной проекции легко достраивать и горизонтальную проекцию.

Теорема 2 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (второго порядка), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

 Пересекаются круговой и эллиптический цилиндры, соприкасающиеся в точках А(А₁, А₂) и В(В₁, В₂). Плоские кривые пересечения изображаются на фронтальной плоскости проекций прямыми D₂E₂ и C₂F₂, так как эти кривые лежат в плоскостях, проходящих через прямую АВ(А₁В₁, А₂В₂) и поэтому фронтально проецирующих.

Теорема Г. Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.