Экзаменационный билет №_13

1. Кривые линии. Общие определения и понятия.

1. Плоские кривые линии

а) построение проекций

б) секущая, касательная, нормаль

в) порядок алгебраической кривой.

Кривые второго порядка.

г) основные свойства проекций плоских кривых.

2. Пространственные кривые линии:

а) цилиндрическая винтовая линия ( ее проекции, развертка и свойства)

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:  В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;  Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции принадлежат одноименным проекциям кривой;  Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекциям кривой линии.

ПРИМЕР 1. Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра. Рисунок 2 – Пример 1. РЕШЕНИЕ. Находим точку A/. Начиная с точки A/, делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра H делим на 12 частей, начиная с точки A//. На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем

Касательной  в данной точке M к кривой a называется предельное положение секущей прямой, проведенной через точку M, когда ее длина становится равной нулю. На рис проведена секущая MM¹. Пусть точка M¹ двигается вдоль кривой по направлению к точке M. В момент совпадения точек M¹ и M секущая становится касательной. Нормалью в данной точке M называется прямая, перпендикулярная к касательной.

Большое значение при рассмотрении плоских алгебраических кривых линий имеет определение порядка кривой. Это определение может быть дано как алгебраически (порядком кривой называется степень ее алгебраического уравнения), так и геометрически (порядком плоской алгебраической кривой называется число точек пересечения кривой с прямой линией). При этом надо иметь в виду, что в число точек пересечения включаются как точки с действительными, так и с мнимыми координатами.

 Из свойств параллельного проецирования вытекают свойства кривых линий, которые сохраняются у их проекций:

- если точка А принадлежит кривой m (рис. 1.47), то проекция А₁ этой точки принадлежит проекции m₁ кривой;

- секущая n и касательная t к кривой линии проецируются соответственно в секущую n₁ и касательную t₁ к проекции кривой m₁ (рис. 1.47);

- бесконечно удаленные точки кривой линии, например   , проецируются в бесконечно удаленные точки ее проекции   ;

- порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не меняется, т. е. сохраняется число точек пересечения кривой и прямой линий.

Рассмотрим основные свойства проекций плоских кривых линий.

Порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не изменяется.

Проведём секущую m кривой l, лежащей в плоскости W. Тогда в проекции получим прямую m¢, а точки пересечения линий m и l спроецируются в точки пересечения проекций m¢ и l¢ в соответствии с рисунком 1.3.27.

Таким образом, число точек пересечения линий m и l будет равно числу точек пересечения их проекций m¢ и l¢, т.е. порядок проекции l¢ будет равен порядку кривой l.

Бесконечно удалённые точки кривой проецируются в бесконечно удалённые точки её проекции.

При перемещении некоторой точки М по кривой l её проекция М¢ будет перемещаться по кривой l¢. При удалении точки М в бесконечность в соответствии с рисунком 1.3.27 её проекция также станет бесконечно удалённой точкой.

Касательная к кривой проецируется в касательную к её проекции.

Точка А¢ есть проекция точки А. Прямая t¢ является проекцией прямой t, касательной к кривой l в точке А.

Число точек пересечения плоских кривых сохраняется при проецировании.

Цилиндрическая винтовая линия ¹) представляет собой пространственную кривую линию одинакового уклона. Острие резца, соприкасаясь с поверхностью равномерно вращающегося цилиндрического стержня, оставляет на нем след в виде окружности. Если же при этом сообщить резцу равномерное поступательное движение вдоль оси цилиндра, то на поверхности цилиндра получится цилиндрическая винтовая линия.

На рис. 301 показано образование винтовой линии на поверхности цилиндра ²) от движения точки А по образующей ЕС и вращательного движения этой образующей. Здесь изображено несколько положений этой образующей: E₀С₀, E₁,С₁...;

Если при перемещении образующей из положения Е₀С₀ в положение Е₁С₁ точка займет положение А₁ то отрезок Е₁А₁ определит расстояние, которое точка прошла по образующей от своего первоначального положения. При последующем положении образующей (Е₂С₂) точка поднимется на высоту Е₂А₂ = 2Е₁А₁ и т. д. Когда образующая сделает полный оборот, точка переместится по ней на расстояние E₀A_l2 = 12Е₁А₁.

При дальнейшем вращении образующей точка А начнет образовывать второй виток, или оборот винтовой линии, занимая положения А¹₁, А¹₂ и т. д.

Расстояние между точками А₀ и А₁₂ называется шагом винтовой линии. Шаг может быть выбран в зависимости от тех или иных условий.