Экзаменационный билет №_16

1. Поверхности вращения:

а) Образование, определитель поверхности;

б) поверхности, образованные вращением прямой линией;

в) поверхности, образованные вращением кривых второго порядка ( окружности, эллипса, параболы, гиперболы) вокруг их осей

г) принадлежность точки и линии поверхности.

Линия, перемещающаяся в пространстве, называется образующей. Образующая может быть прямой линией или кривой. Она может иметь постоянную форму или менять ее в процессе перемещения. Закон перемещения в пространстве образующей удобно задавать в виде совокупности неподвижных линий. Их называют направляющими. Процесс образования поверхности показан на рис.8.1.

 Образующей является кривая 1. Закон перемещения задан двумя направляющими d₁, d₂ и плоскостью g. Образующая 1 скользит по направляющим d₁ и d₂, оставаясь параллельной плоскости g, Точка А, принадлежащая поверхности принадлежит 1₂. Поверхность определена, если можно однозначно решить, принадлежит точка пространства данной поверхности или нет. Совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже, называется определителем поверхности.

Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения)

Вращением прямой линии образуются: 1) цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси i 2)конус вращения, если прямая l пересекает ос i 3)однополостный гиперболоид вращения, если прямая l (ВС) скрещивается с осью i

Поверхность имеет две образующие линии l (ВС) и l' (В'С'), наклоненные в разные стороны и пересекающиеся в точке (А), принадлежащей наименьшей параллели. Отрезок ОА является кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые.

Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола. Все рассмотренные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка. Построение проекций точки, принадлежащей каждой из них, можно выполнить при помощи параллели или прямолинейной образующей, проходящих через нее.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра 2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси. 3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой 5. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

принадлежность точки и линии поверхности.

На поверхности конуса определить фронтальную проекцию точки В по заданной горизонтальной

Через горизонтальную проекцию В₁ проведена проекция образующейl₁, построена фронтальная проекция образующейl₂, и на ней лежит недостающая фронтальная проекцияВ₂ точки В.