9. Построение уравнения парной регрессии. Постановка задачи.

Постановка задачи: по имеющимся данным n наблюдений за совместным изменением двух переменных показателей x и y {(xi,yi), i=1,2,...,n} необходимо определить аналитическую зависимость ŷ = f(x), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Результаты наблюдений удобно представлять в виде таблицы.

Каждая строка таблицы представляет собой результат одного наблюдения (x_i,y_i).

Значения x_i, y_i из каждой строки представляются как координаты точки (x_i,y_i) на координатной плоскости xy. Совокупность всех точек составляют поле корреляций.

Зависимости ŷ = f(x) соответствует некоторая кривая на плоскости. Чем ближе данная кривая подходит ко всем точкам поля корреляций, тем лучше зависимость ŷ = f(x) описывает исходные данные.

Наилучшей считается такую зависимость, для которой сумма квадратов отклонений принимает минимальное значение, т. е.

S=∑(ŷ_і-у_і)²=min.(2.4)

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа:

1) спецификация модели (выбор вида аналитической зависимости ŷ = f(x));

2) оценка параметров выбранной модели (определение численных значений параметров на основе массива наблюдений).

Спецификация модели.

Парная регрессия применяется для моделирования зависимости, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Для выбора вида аналитической зависимости используются следующие методы:

- графический (вид зависимости определяется на основе анализа поля корреляций);

-аналитический (на основе качественного анализа изучаемой взаимосвязи);

-экспериментальный (построение нескольких моделей различного вида с выбором наилучшей согласно применяемому критерию качества).

Визуальный анализ поля корреляций (рис. 2.1) позволяет определить форму кривой регрессии, ее особенности.

По типичному виду графиков различных функций подбирается соответствующая аналитическая зависимость.

Примером применения аналитического метода можно привести зависимость между затратами (y) и объемом производства (x). Поскольку затраты прямо пропорциональны объему производства, зависимость между ними можно представить в виде линейной функции

y = a+bx,

где a - часть затрат, не зависящая от объема производства,

b – дополнительные затраты на производство единицы продукции.

Разделив обе части последнего уравнения на объем производства x, получим зависимость удельных затрат (z = y/x) на производство единицы продукции и от объема производства

При построении модели зависимости спроса товар от его цены при выборе вида зависимости необходимо учитывать, что при увеличении цены спрос падает.

В этом случае следует использовать следующие зависимости:

y=a-bx, (b>0); у= , (b>0); у=e^a-bx, (b>0).

Величина изменения зависимой переменной y пропорциональна значению независимой переменной x, следовательно, необходимо выбрать полиномиальную, степенную или показательную зависимости.

Если предполагается, что значение зависимой переменной y при увеличении значения независимой переменной x не может превысить некоторого предела, то необходимо выбрать гиперболическую или логистическую зависимости.

В случае, если в рассматриваемой области изменения фактора x результативная переменная y принимает минимальное или максимальное значение, в уравнение регрессии включают переменные x не только первой, но и второй степени (например, y=a+b₁x+b₂x²).

В качестве критерия качества модели используется:

- средняяквадратическая ошибка модели

ɛ= ,

- остаточная дисперсия

D= ∑(ŷ_і-у_і)².

Но данные критерии не являются определяющими, поскольку в эконометрике более важным является не способность модели соответствовать имеющемуся массиву данных наблюдений, а ее способность раскрывать существующие закономерности в экономических явлениях и процессах и интерпретация полученных с ее помощью результатов.