10. Оценка параметров линейной парной регрессии.

Линейная парная регрессия описывается уравнением:

у=a+bx, (2.5)

Согласно этому уравнению изменение Δyпеременной y прямо пропорционально изменению Δxпеременной x (Δy= b·Δx).

Для оценки параметров a и b уравнения регрессии (2.5) используем метод наименьших квадратов (МНК). При определенных предположениях относительно ошибки ε МНК дает наилучшие оценки параметров линейной модели

y=a+bx+ɛ. (2.6)

Согласно МНК, выбираются такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y_i от теоретических значений ŷ_i= f(x_i) (при тех же значениях фактора x_i) минимальна, т. е.

S=∑(ŷ_і-у_і)²=min. (2.7)

Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов имеет вид:

(2.8)

Для определения параметров а и b, вытекающие и системы нормальных уравнений, используются следующие формулы:

a=ӯ-b , (2.9)

b= .

Формулу для параметра b можно представить следующим образом

b= , (2.10)

Коэффициент b при факторной переменной x показывает насколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на единицу.

Например, зависимость между затратами (тыс. руб.) и объемом выпуска продукции описывается соотношением

y = 35000+0,58x.

То есть, с увеличением объема выпуска на 1 единицу потребует дополнительных затрат на 580 рублей.

Свободный член a в уравнении, в случае, когда переменная x представляет собой время, показывает уровень явления в начальный момент времени. В других случаях, параметр a может не иметь экономической интерпретации.

11. Проверка качества уравнения регрессии. F-критерий Фишера.

Оценка качества полученного уравнения регрессии основывается на методах дисперсионного анализа.

Соотношение между дисперсиями наблюдаемых значений переменной D(y), ее расчетных значений D(ŷ) и остатков D(е)(остаточной дисперсией D_ост= D(е)), имеет вид:

D(y) = D(ŷ) + D(е). (2.11)

Учитывая соотношения

D(у)= ∑ (у_і-ӯ)², D(ŷ)= ∑ (ŷ_і-ӯ)², D(е)=D_ост= ∑ (ŷ_і-у_і)²,

это равенство можно записать в виде

∑ (у_і-ӯ)²=∑ (ŷ_і-ӯ)²+∑ (ŷ_і-у_і)². (2.12)

Коэффициент детерминации представляет собой отношение объясненной части D(ŷ) дисперсии переменной уко всей дисперсии D(y):

R²= или R²= .(2.13)

Его используют для характеристикикачества уравнения регрессии или соответствующей модели связи.

Используя соотношение (2.13) коэффициент детерминации можно представить в альтернативном виде:

R²=1- или R²=1- .(2.14)

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля доединицы: 0 ≤ R²≤ 1.

Коэффициент детерминации R²показывает, какая часть дисперсии результативного признака y объяснена уравнением регрессии.

Например, значениеR²= 0,56 говорит о том, что соответствующее уравнение регрессии объясняет56 % дисперсии результативного признака.

Чем больше R², тем большая часть дисперсии результативного признака yобъясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описываетисходные данные.

При отсутствии зависимости между у и x коэффициент детерминации R²будет близок к нулю. Таким образом, коэффициент детерминации R²может применяться для оценки качества (точности) уравнения регрессии.

F-критерий Фишера поволяет объяснить, при каких значениях R²уравнение регрессии следуетсчитать статистически незначимым, и что делает обоснованным его использование в анализе.

Согласно F-критерию Фишера, выдвигается «нулевая» гипотеза H₀о статистической незначимости уравнения регрессии (т. е. о статистически незначимом отличии величины F от нуля). Эта гипотеза отвергается при выполненииусловия F_р>F_т, где F_топределяется по таблицам F-критерия Фишера при числе степеней свободы k₁=k, k₂= n-k-1 и заданному уровню значимости α.

Уровнем значимости (обозначается α) называется вероятность отвергнуть верную гипотезу (это ошибкапервого рода).

Уровень значимости α обычно принимает значения 0,05 и 0,01,что соответствует вероятности совершения ошибки первого рода 5 % и 1 %.

Величину F можно выразить через коэффициент детерминации R²

F= * (2.15)