Математикалық маятниктің кӨмегімен

еркін түсу үдеуін анықтау

Жұмыстың мақсаты: Еркін гармоникалық тербелістерді оқып үйрену, оларға сипаттама беру, математикалық маятникпен танысу..

1. Теориялық кіріспе

Егер қозғалыстағы денеге тек ауырлық күші әсер ететін болса, онда дененің бұл қозғалысын еркін түсу деп атайды, ал осы қозғалыс кезінде пайда болатын үдеу еркін түсу үдеуі немесе ауырлық күшінің үдеуі деп атайды.

Бүкіл әлемдік тартылыс заңынан анықталатын ауырлық күшінің әсерінен массасы m дене жерге g үдеумен құлайды (Ньютонның екінші заңы)

(1)

мұндағы M - Жердің массасы, R - денеден Жердің центріне дейінгі ара қашықтық, - Жердің радиусы, h - дененің ауырлық центрінен Жердің бетіне дейінгі қашықтық.

(1) өрнегінен

(2)

шығады және ол түсу денесінің массасына, өлшеміне және басқа шамаларына тәуелсіз, ол жердің географиялық енділігі мен дененің жер бетінен көтерілу биіктігіне тәуелді болады.

Теориялық жолмен есептелінген еркін түсу үдеуінің g жер бетіне жақын арадағы шамасы мынаған тең:

(3) Еркін түсу үдеуін тәжірибе арқылы анықтаудың бірнеше әдістері бар. Бұл жұмыста g үдеуі математикалық маятниктің қалыпты жағдайынан аз бұрыштарға ауытқуынан пайда болған гармониялық тербелістерді қарастыруымен есептелінеді.

Математикалық маятник – бұл идеалданған жүйе, массасын ескермеуге болатын созылмайтын жіпке ілінген, вертикаль жазықтықта ауырлық күшінің әсерінен тербелетін материялық нүкте. Массасы m шарик жіңішке жіпке ілінген, жіптің ұзындығы шарик өлшемдерінен көп үлкен, осы жүйе математикалық маятникке жақын келеді.

А нүктесінде ауырлық күші керілу күшімен теңгеріледі. Бұл тепе-тең жағдай. Маятниктің ауытқу жағдайында (В нүктесінде) және күштері бір-бірімен бұрыш жасай орналасқан. күшін және құраушы күштеріне жіктейік, біреуі жіп бойымен, ал екіншісі оған перпендикуляр етіп бағыттайық. күші күшімен теңгеріледі, ал күші шарикке тепе-тең жағдайына қарай үдемелі қозғалыс туғызады. А нүктесінен

ш арик инерциясы бойынша өтеді де әрі қарай жылдамдығын баяулатады. С нүктесінде тоқтайды да, кері бағытта қозғалады. Осылай тепе-теңдік жағдайына қатысты маятник еркін тербеліс жасайды.

Бұл тербелістердің теңдеуін жазайық. Маятниктің аз бұрыштарға ( ) ауытқуынан шарик траекториясының доғасы түзу сызыққа жақындайды, осы кезде мынадай теңдік орындалады:

(4)

1-сурет мұндағы x-шариктің тепе-тең жағдайынан ауытқуы.

1-суреттегі күштің ұшбұрышынан қорытқы күшін анықтауға болады. (4) теңдігін ескере отырып, күшінің мынадай теңдеуін аламыз:

(5)

Минус таңбасы күшінің x ауытқуына қарама-қарсы бағытталатынын көрсетеді. Ол маятниктің үдемелі қозғалысын тудырады. Оны Ньютонның екінші заңымен жазатын болсақ мына түрге келеді:

(6)

немесе

(7)

мұндағы

(8)

Сөйтіп, шариктің тепе-тең жағдайынан аз бұрыштарға ауытқуының тербелісі сызықты, біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеумен сипатталады. Бұл теңдеудің жалпы шешімі мынадай:

(9)

Шариктің тербелісі Х уақыт бойынша синусоидалы заң бойынша өзгереді, яғни маятник гармониялық тербеледі. 2-суретте сондай тербелістердің графигі келтірілген. Маятниктің тепе-тең жағдайынан максимал ауытқуы а амплитуда деп аталады.

М ұндағы синустың астындағы шамасы –

тербеліс фазасы деп аталады, - циклдік жиілігі,

- бастапқы фаза. циклдік жиілік тербеліс периодымен Т мынадай байланыста болады:

(10)

2-сурет (8) және (10) теңдіктерінен

(11)

Бұдан математикалық маятниктің тербеліс периоды:

(12)

(12) формуласынан еркін түсу үдеуінің тәжірибелік формуласын аламыз

(13)

(13) формуласы арқылы жанама анықталатын g үдеуінің қателігін функциясының логарифмін дифференциалдау арқылы бағалауға болады.

(14)

(13) өрнегін дифференциалдайық:

Натурал логарифмнің дифференциалын алайық:

d шамасын -ға және минус таңбасын плюс таңбасымен ауыстыратын болсақ, мынадай өрнек аламыз:

(15)

мұндағы - маятник ұзындығының қателігі, ол вертикаль шкаланың дәлдігіне байланысты. Оны шкаланың ең кіші бөлігінің жартысына тең деп

3-сурет бағалауға болады, ол 0,5 см.