Энергия электрических зарядов

Сообщим уединённому проводнику некоторый заряд q. Тогда вокруг него возникает электрическое поле, и потенциал проводника примет какое-то значение. Чтобы увеличить заряд проводника на dq придётся принести этот заряд из бесконечности к поверхности проводника и затратить на это работу, равную

A = (  _ dq = dq = , (14.10)

если считать _=0. Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электрического поля проводника. При обратном перемещении заряда dq с поверхности проводника в бесконечно удалённую точку силы электрического поля совершают точно такую же по величине работу dA. Следовательно, заряженный проводник обладает потенциальной энергией W, за счёт которой совершается работа разрядки. При увеличении заряда проводника на dq его потенциальная энергия возрастает на величину dW, равную работе dA, совершённой внешними силами:

dW =dA= . (14 .11)

Потенциальную энергию незаряженного проводника (q=0 и =0), не создающего вокруг себя электрического поля, будем считать равной нулю. Тогда энергия W проводника, заряд которого достиг некоторой величины, может быть найдена интегрированием выражения (14 .11):

.

Используя зависимость, связывающую заряд проводника с его потенциалом, можно окончательно получить выражение для энергии заряженного проводника в виде:

W = q²/2C = q  C². (14 .12)

Внутри заряженного проводника поле отсутствует. В процессе зарядки проводника электрическое поле возникает в пространстве, окружающем проводник. Электрическая энергия заряженного проводника локализована в окружающем его электрическом поле, которая распределена в последнем с объёмной плотностью в соответствии с величиной напряжённости электрического поля в зависимости от расстояния до проводника.

Энергия заряженного конденсатора

Рассмотрим простейший случай однородного поля между пластинами плоского конденсатора. Процесс зарядки такого конденсатора можно представить как последовательное перемещение бесконечно малых порций заряда dq с одной пластины на другую, в результате чего одна из пластин будет заряжаться положительно, а другая - отрицательно и между ними будет возникать постепенно возрастающая разность потенциалов U = q / С. Повторяя ход вывода, приведённого выше для уединённого проводника, легко получить выражение для полной электростатической энергии заряженного конденсатора:

W = q²/2C = qU  CU², (14 .13)

совершенно аналогичное выражению (14 .12). Подставляя в (14 .13) значения электроёмкости C=₀S/d и разности потенциалов в плоском конденсаторе Е=U/d, после преобразования получим:

. (14 .14)

Здесь Е - напряжённость электрического поля внутри конденсатора, a V= S·d -его объём. Отсюда энергия единицы объёма, или объёмная плотность энергии электрического поля

(14 .15)

оказывается прямо пропорциональной квадрату напряжённости электрического поля. Соотношение (14 .15) остаётся справедливым и для любых неоднородных полей, в которых напряжённость поля Е и плотность энергии  меняется от точки к точке. В изотропном диэлектрике направления векторов и совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид:

. (14 .16)

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

Энергия взаимодействующих зарядов

Поскольку электрическое поле непрерывно связано с электрическими зарядами, то энергию поля W можно также рассматривать, как энергию взаимодействующих зарядов. В случае двух точечных зарядов q_i и q_j, находящихся в пустоте на расстоянии друг от друга, согласно формуле А_ij=W_ij - W_. Если в пространстве имеется N различных точечных зарядов, то полная потенциальная энергия системы будет равна сумме взаимных энергий всех пар зарядов, входящих в систему

, . (14 .17)

Множитель 1/2 в этом выражений нужен потому, что при суммировании по всем i и j от 1 до N каждое взаимодействие учитывается дважды. Используя выражение для энергии взаимодействия точечных зарядов необходимо проанализировать вопрос об устойчивости системы неподвижных зарядов. Неустойчивость системы для двух точечных зарядов очевидна. Одноименные заряды отталкиваются до бесконечности, а разноименные - притягиваются до полного соприкосновения и нейтрализуются. Условием устойчивого равновесия любой системы является минимум её потенциальной энергии. Для рассмотренной системы двух точечных зарядов этот минимум наступает лишь при полном разрушении системы.

Рассмотрим систему из трёх точечных зарядов. В этом случае возможны конфигурации, при которых три заряда находятся в равновесии, однако это равновесие будет неустойчивым. Подобное равновесие будет возможно, если: 1) все заряды не одинакового знака, 2) заряды расположены вдоль одной прямой, 3) величины зарядов находятся в определённом соотношении.

Испытывая различные изменения конфигурации зарядов, можно убедиться, что среди них имеются такие, при которых изменение потенциальной энергии либо положительное, либо отрицательное, либо равно нулю. Таким образом, отдельные заряды не могут образовывать устойчивую статическую систему, они не могут быть не чем иным, как динамическими системами электрических зарядов.