6 Элементы механики сплошных сред

Гидродинамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения жидкой среды и взаимодействия ее с телами, обтекаемыми этой средой.

В гидродинамике используется модель идеальной жидкости (несжимаемой и невязкой). Её плотность всюду одинакова, не меняется со временем, сопротивление между движущимися слоями отсутствует. Движение жидкости называется течением, а совокупность движущихся частиц – потоком. Жидкость рассматривают как сплошную среду, непрерывно распределённую в пределах потока. Под частицей среды понимают физически малый элемент объёма этой среды, в пределах которого все параметры потока (скорость течения, давление и др.) можно считать одинаковыми.

Графически движение жидкости изображается с помощью линий тока – кривых, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в данный момент времени (рис. 6.1). Густота линий тока зависит от скорости течения жидкости.

Рис. 6.1 Линии тока

Ч асть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Частицы при своём движении не пересекают стенок трубки тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если вид и расположение линий тока со временем не изменяются.

6.1 Уравнение неразрывности струи

В трубке тока (рис. 6. 2) выделим два сечения и , перпендикулярные направлению в них скоростей и . За время частицы пройдут пути и . Следовательно, через эти сечения протекут объёмы жидкости и .

Р ис. 6. 2 Трубка тока

Если жидкость несжимаема, то эти объёмы одинаковы, поэтому

(6.1)

Полученное соотношение называется уравнением неразрывности струи: для несжимаемой жидкости в любом сечении одной и той же трубки тока произведение должно быть одинаковым.

В соответствии с (6.1) в узких сечениях скорость течения жидкости больше, и наоборот.

6.2 Уравнение Бернулли

В идеальной жидкости, стационарно текущей слева направо, выделим трубку тока малого сечения (рис.6.3). Рассмотрим объём жидкости, ограниченный стенками трубки тока и сечениями и , перпендикулярными к линиям тока. За время этот объём переместится вдоль трубки тока, причём сечения и переместятся на расстояния и . В силу неразрывности струи (6.1) выделенные объёмы будут иметь одинаковую величину и поэтому массы жидкости, входящей за это время в трубку тока ( ) и выходящей из неё равны.

Полная энергия этой массы жидкости во входном и выходном сечениях равна соответственно

и .

Между сечениями аккумуляции энергии нет. Поэтому изменение энергии жидкости при переходе от одного сечения к другому

(6.2)

равно работе , совершаемой силами давления и на сечения и со стороны слоёв жидкости, находящихся слева от и справа от :

. (6.3)

Второе слагаемое отрицательно, т. к. сила давления направлена в сторону, противоположную смещению . Приравняв выражения для и , выразив массу жидкости через плотность ( ), сократив на и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:

, (6.4)

Так как сечения выбирались произвольно, то можно записать (6.5)

Это основной закон гидродинамики, который называется также уравнением Бернулли. В законе (6.5) все слагаемые имеют размерность давления. Величина называется статическим давлением, величина – динамическим давлением, величина представляет собой гидростатическое или весовое давление, а их сумма называется полным давлением. Поэтому уравнение Бернулли можно сформулировать так: при стационарном течении идеальной жидкости во всех сечениях трубки тока полное давление одинаково.

Применим уравнение (6.5) к двум частным случаям: 1) горизонтальному течению жидкости; 2) истечению жидкости из отверстия.