4.Классическое определение вероятности.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через m, а число всех исходов-n, тогда

Р(А)= , где m-целое число; 0≤m≤n.

Пример 7.Конечной целью серии тренировок пловца является преодоления им дистанции 200м вольным стилем за время 2.17,0.

После соответствующей подготовки он проплыл эту дистанцию 25 раз. Результаты его такие:18 раз он показал желаемый результат, в остальных случаях - результат был хуже. Какова вероятность того, что в тех же условиях он преодолеет дистанцию 200м за нужное время?

Обозначим вероятность искомого случайного события буквой А.Определению подлежит вероятность Р(А).

В данном примере благоприятствующих исходов испытаний было 18, то есть m=18.Равновозможные исходы испытания - это все испытания, имевшие место в данном примере. Их число n=25.

Таким образом, вероятность искомого события находится так:

Р(А)= = =0,72

Р(А)=0,72-есть числовая характеристика того, что в данном испытании спортсмен преодолеет дистанцию 200м за 2.17,0.

Свойства вероятности.

1.Вероятность достоверного события равна 1

2.Если событие невозможно, то его вероятность равна 0

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0≤P(А)≤1.

4. Сумма вероятности противоположных событий равна 1

P(А)+

Чем больше значение вероятности внутри интервала от 0 до 1, тем более мы уверены в наступлении случайного события. Вероятность, равная 0,95, предполагает высокую степень уверенности в наступлении события. Вероятность 0,8 также предполагает высокую степень уверенности. Когда вероятность равна 0,5, то событие имеет равные шансы, как произойти, так и не произойти. Когда вероятность равна 0,2, то событие, скорее всего не произойдет. Когда вероятность равна 0,00005, то мы уверены, что событие практически не может произойти.

Лекция №2. Основные теоремы теории вероятностей.

1.Основные теоремы теории вероятности.

2.Формула полной вероятности.

3.Формула Байеса.

4.Повторение испытаний. Формула Бернулли.

1.Основные теоремы теории вероятности.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В, или обоих событий вместе.

С=А

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в том, что произойдет и событие А и событие В.

С=А

Событие В называется независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятности появления события В, в противном случае событие А и В являются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность совместного появления двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А

Пример 1 найти вероятность совместного выхода в финал чемпионата России по футболу команд «Спартак» и «Локомотив», если вероятность выхода в финал команды «Спартак» (событие А) равна 0,7, а команды «Локомотив» (событие В) равна 0,9.

Решение. Событие А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ)=Р(А)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположение, что все предыдущие события уже наступили.

Р(А (В) ,

где (В)- вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 2. В школьной команде по легкой атлетике тренируются 5 юношей из 10 «а» и 6 юношей из 10 «б» классов. При отборе в финал городских соревнований сначала был отобран один спортсмен, а затем другой. Найти вероятность того, что первым был отобран ученик 10 «а» класса, а вторым - ученик 10 «б» класса.

Решение. Вероятность того, что первым спортсменом окажется ученик 10 «а» (событие А) Р(А)= .

Вероятность того, что вторым спортсменом окажется ученик 10 «б» (событие В), вычисляется в предположении, что первый спортсмен – ученик 10 «а», т. е. условная вероятность (В)= .

По теореме умножения искомая вероятность

Р(А (В)= .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В+…+С)=Р(А)+Р(В)+…Р(С).

Пример 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие А- «стрелок попал в первую область» и В-«стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,45+0,35=0,80.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пример 4. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула находиться в первом справочнике, равна 0,6, а во втором – 0,8.Чему равна вероятность того, что студент найдет хотя бы в одном справочнике нужную ему формулу?

Решение. Событие А-формула находится в первом справочнике. Событие В-формула находится во втором справочнике. Тогда : событие А+В –формула находится в первом или во втором справочнике; событие АВ- формула находится в первом и втором справочнике.

Так как события А и В независимы, то применяем теорему об умножении вероятностей независимых событий: Р(АВ)=Р(А)

Так как события А и В совместны, то:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,6+0,8-0,48=0,92.