1.Закон распределения дискретной случайной величины

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможных значений (какое именно - заранее не известно).

Примеры случайных величин: число произведенных выстрелов до первого попадания; дальность полета артиллерийского снаряда и т. п.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y,Z,…,а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z,….

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины можно задать таблично, графически, аналитически.

При табличной форме задания закона распределения случайной величины, первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности.

X				…
P				…

Причем =1

Для графического изображения закона распределения случайной величины в прямоугольной системе координат строят точки с координатами ( , а затем соединить их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример

Задан закон распределения дискретной случайной величины:

Х	1	3	6	8
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение.

В прямоугольной системе координат построим точки с координатами (1;0,2), (3;0,4), (6;0,4), (8;0,3), а затем соединим их отрезками прямых.

Получим:

Дискретную случайную величину Х- число появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<р<1) называют подчиненной биномиальному закону распределения. Вероятность возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляется по формуле Бернулли:

Если число n испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу:

= ,

где k- число появления события в n независимых испытаниях, np (среднее число появления события в n независимых испытаниях), и говорят , что случайная величина распределена по закону Пуассона.

3. Числовые характеристики дсв и их свойства.

Очень часто вместо закона распределения ДСВ приходиться использовать для описания случайной величины ее числовые характеристики, к которым относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание ДСВ называют сумму произведений ее возможных значений на их вероятности:

М(x)= + =

Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что оно приближенно равно наиболее ожидаемому в результате испытания значению случайной величины.

Свойства математического ожидания

1.М (С)=С

2.М (СХ)=СМ (Х)

3.М ( =М ( … М(

4. М ( =М ( … М(

5. М ( )=М ( )

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

М (Х)=np.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X ) =

Для практических вычислений пользуются следующей формулой:

D(X) = , где М(x)=

Свойства дисперсии.

1. D(C)=C

2. D(CX)= D(X)

3. D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)

4. D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Пример 2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X-2Y,если известно, что М(Х)=0,3, М(Y)=-1,5 D(X)=5, D(Y)=6.

Решение.

М(Z)=M(3X-2Y)=M(3X)-M(2Y)=3M(X)-2M(Y)=3 ,3+2 (-1,5)=-2,1

D(Z)=D(3X-2Y)=D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)=9 5+4 6=69

Дисперсия биномиального закона распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления события в одном испытании:

D(X)=npq

Пример 3 .Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х-числа появления события А в 20 независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,78.

Решение. Случайная величина Х распределена биномиально.

n=20; p=0,78; q=1-p=1-0,78=0,22

М (Х)=np=20 0,78=15,6;

D(X)=npq=20 0,78 0,22=3,432

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения помимо дисперсии служит среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

Пример 4.Найти числовые характеристики ДСВ Х, заданной законом распределения:

Х	-5	2	3	4
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

Решение.

М(Х)=-5

D(X)=M( )-

M( )= 15,3

D(X)= 15,3-

= =3,9.