2.Формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)= (А)+ (А)+ (А),

где

Пример 5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решения. Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

-белых шаров нет, -один белый шар, -два белых шара.

Поскольку имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу), то вероятность каждой из гипотез равна , т. е.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, (А)= . Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне был один белый шар, (А)= .

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне был о два белых шара, (А)= .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р(А)= (А)+ (А)+ (А),

Р(А)= + + = =

3.Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) образующих полную группу. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

( )= ,

где Р(А)= (А)+ (А)+ (А) формула полной вероятности .

Пример 6. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 черных, во второй – 5 белых и 4 черных, в третьей – 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что :а) этот шар окажется белым; б)белы шар вынут из второй урны.

Решение. а) пусть А – событие, означающее, что извлечен белый шар. Рассмотрим три гипотезы:

- выбрана первая урна; - выбрана вторая урна; - выбрана третья урна. Так как урна, из которой извлекают шар, выбирается наугад, то

Условные вероятности события А соответственно равны:

(А)= ; (А)= ; (А)= .

Отсюда по формуле полной вероятности получим:

Р(А)= + + =

б)для определения вероятности того, что белый шар извлечен из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:

( )= = =

4.Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р. Следовательно, вероятность непоявления события в каждом испытании также постоянна и равна q=1-p (как вероятность противоположного события).

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно k раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

а) менее k раз

(0≤ <k) = (0)+ (1)+ (2)+ (k-1);

б) более k раз

(k< ≤n) = (k+1)+ (k+2)+ (k+3)+ (n);

в) не менее k раз

(k≤ ≤n) = (k)+ (k+1)+ (k+2)+ (n);

г) не более k раз

(0≤ ≤k) = (0)+ (1)+ (2)+ (k);

Пример 7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничья во внимания не принимается)?

Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = ; следовательно, вероятность проигрыша q также равна . Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

= =0,375; ( )

Найдем вероятность того, что три партии из четырех будут выиграны:

= =0,3125; ( )

Так как > то вероятнее выиграть две партии из четырех.

Лекция №3. Случайные величины и их числовые характеристики.

1.Закон распределения дискретной случайной величины.

2. Числовые характеристики ДСВ и их свойства.

3. Непрерывные случайные величины.