3.Непрерывные случайные величины.

Для непрерывных случайных величин нельзя составить таблицы, в которых были бы перечислены все значения даже в небольшом интервале. Поэтому закон ее распределения должен определять вероятность попадания ее значений в некоторый отрезок. Для этого вводится функция распределения.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т. е.

F(x)=Р(Х х)

Свойства функции распределения

1.Значения функции распределения принадлежит отрезку[0,1 :

0≤ F(x) ≤1

2.Функция распределения есть неубывающая функция, т. е.:

F( )≥ F( ) , если .

3.Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу (а;b), то

F(x)=0 при x a

F(x)=1 при x

4.Функция распределения непрерывна слева.

1. Основные законы распределения нсв

4.1 Равномерное распределение.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Плотность вероятности равномерного распределения

(6.2)

График плотности равномерного распределения имеет вид:

4.2Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

f(x)=

Т. е. нормальное распределение определяется двумя параметрами: α и δ. Достаточно знать эти параметры , чтобы задать нормальное распределение.

Вероятностный смысл этих параметров таков: α- математическое ожидание, δ – среднее квадратичесное отклонение.

Общим называют распределение с произвольным параметрами α и δ ( δ>0).

Нормированным или стандартным называют нормальное распределение с параметрами α= 0 и δ=1

Плотность стандартного распределения имеет вид:

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная нормально, примет значение из интервала (а;b) равна

P(a )

Пример 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 12. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Решение. Воспользуемся формулой. Подставив a=12, b=14, α= 10 и δ=2, получим

P(12 )=Ф(2)-Ф(1).

По таблице приложения находим Ф(2)=0,4772 и Ф(1)= 0,3413. Искомая вероятность Р(12<Х<14)=0,4772-0,3413=0,1359.

Правило тех сигм

Если случайная величина распределена нормально , то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е.

Р(|Х- α |<3 δ)=0,9973≈1

На практике это правило применяет так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Лекция №4. Основы математической статистики. Методы расчета свободных характеристик.

1.Выборка и ее представление.

2. Вариационные ряды и их графическое представление.

3. Числовые характеристики выборки.