7.7. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Решить дифференциальные уравнения:

а) б) в)

Задача 2. Найти решение задачи Коши:

7.8. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка вида называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

Тогда уравнение может быть записано в виде и его общий интеграл имеет вид .

Для того, чтобы рассматриваемое уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

Интегрирование уравнения в полных дифференциалах сводится к нахождению по функциям и соответствующей функции .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Проверим, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Здесь , , следовательно,

.

Найдем функцию . Интегрируя по переменной при постоянном равенство , получим

.

Здесь – непрерывно дифференцируемая функция, постоянная интегрирования.

Подставляя полученную функцию в равенство

,

имеем , следовательно, . Отсюда находим

,

то есть ,

где произвольная константа. Подставляя найденную функцию в выражение для , имеем семейство функций

,

для которых левая часть данного уравнения является полным дифференциалом. Таким образом, наше уравнение можно записать в виде

,

откуда его общий интеграл есть

.

7.9. Задачи для самостоятельного решения

Задача. Решить дифференциальные уравнения:

а) б) в) с) .

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

8.1. Основные понятия об уравнениях высшего порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка имеет вид

(8.1)

или

. (8.2)

Всякая функция , имеющая непрерывные производные до порядка и удовлетворяющая уравнению (8.1) или (8.2), называется решением (частным решением) этого уравнения.

Задачей Коши для дифференциального уравнения (8.2) называется задача отыскания решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям

, (8.3)

где – заданные числа.

Общим решением уравнения (8.1) или (8.2) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения, и для любой задачи Коши с условиями (8.3) найдутся постоянные , определяемые из системы уравнений:

(8.4)

Уравнение

, (8.5)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Показать, что функция , является решением дифференциального уравнения .

Решение. Найдем и . Подставив выражения для в данное уравнение, получим тождество

.

Следовательно, функция есть решение данного уравнения.

8.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три наиболее распространенных вида дифференциальных уравнений -го порядка, допускающих понижение порядка.

a) Уравнение вида

. (8.6)

Общее решение получается с помощью -кратного интегрирования

,

где т.е. общий интеграл уравнения (8.6) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена -й степени с произвольными постоянными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее условиям .

Решение. Интегрируя первый раз, получим . Повторное интегрирование дает

Следовательно, – общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной значения и соответственно и , получим систему двух уравнений с неизвестными и :

Подставив найденные и в общее решение, получим искомое частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям.

б) Уравнение вида

. (8.7)

Уравнение (8.7) не содержит функции и ее нескольких последовательных производных . С помощью замены понизим порядок уравнения на единиц: . Предположим, что для полученного уравнения общее решение имеет вид . Тогда искомая функция получается с помощью кратного интегрирования функции .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение не содержит и . Положим , тогда и уравнение будет иметь вид: . Это линейное уравнение первого порядка (см. п. 7.6.). Его общее решение имеет вид . Так как , то для отыскания искомого общего решения надо проинтегрировать уравнение . Таким образом,

,

тогда

.

Следовательно, , где – произвольные постоянные, является общим решением заданного уравнения.

в) Уравнения вида

. (8.8)

Уравнение (8.8) не содержит явно независимую переменную . В этом случае примем за независимую переменную и введем новую функцию . Считая, что есть функция от и через посредство зависит от и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных функции по выражения

,

,

аналогично вычисляются .

Подставляя в уравнение (8.8) вместо и т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет , т.е. на единицу ниже.

Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и – его решение, то нахождение общего интеграла данного уравнения сводится к интегрированию

.

Откуда получаем общее решение ОДУ (8.8)

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Положим

и подставим в исходное уравнение, тогда получим

.

Сократим на , при этом учтем теряемое решение или и получим

.

Это уравнение рассматриваемого вида, делая ту же замену придем к уравнению .

Сократив на (при этом учитываем еще одно решение , т.е. и ), получим

.

Проинтегрировав уравнение , находим , или .

Окончательно получим

, где .

Заметим, что в общее решение входят и потерянные ранее частные решения (кроме ).