2.2. Вычисление интеграла с помощью формулы Ньютона–Лейбница
Для вычисления определенного интеграла от функции используют формулу Ньютона–Лейбница. Пусть – произвольная первообразная на отрезке для непрерывной на этом отрезке функции , т.е. . Тогда справедлива формула
.
Таким
образом, для вычисления определенного
интеграла от некоторой функции
необходимо найти какую-либо ее
первообразную
,
а затем разность
.
Пример
1. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Так как одной из первообразных для
функции
является
,
то
.
Пример
2. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
Пример
3. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить интеграл
.
2.
Вычислить интеграл
.
3.
Вычислить интеграл
.
2.4. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть
дан интеграл
,
где
− непрерывная на отрезке
функция. Пусть
− новая функция, заданная на отрезке
,
такая, что
,
.
Если функция
и ее производная непрерывны на отрезке
,
то
.
Отметим, что замена переменной в определенном интеграле предполагает также и замену пределов интегрирования.
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
Произведем замену
.
Тогда
.
Подставляя в замену
числа 0 и
,
получаем числа 0 и
,
которые являются новыми пределами
интегрирования. Данные рассуждения
записываются следующим образом
.
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
.
Пример
3. Вычислить
.
Решение.
.
2.5. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить интеграл
.
2.
Вычислить интеграл
.
3.
Вычислить интеграл
.
2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть
и
имеют непрерывные производные на отрезке
.
Тогда имеет место формула
,
которая называется формулой интегрирования по частям.
Пример
1. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
Пример
2. Вычислить
интеграл
.
Решение.
=
.
Пример
3. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
2.7. Задачи для самостоятельного решения
1.
Вычислить интеграл
.
2.
Вычислить интеграл
.
3.
Вычислить интеграл
.
3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Интегралы с бесконечными пределами
(интегралы 1-го рода)
Пусть
функция
непрерывна на
.
Если существует конечный предел
,
то интеграл
=
называется несобственным интегралом
первого рода. В этом случае говорят, что
несобственный интеграл сходится. Если
предел равен бесконечности или не
существует, то несобственный интеграл
расходится.
Пример
1. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
Итак, заданный несобственный интеграл сходится и равен .
Пример
2. Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
Таким образом, получили, что заданный
интеграл расходится.
Отметим,
что
при
сходится. Действительно,
,
т.е. интеграл сходится.
Теорема.
Пусть на
непрерывные, неотрицательные функции
и
удовлетворяют условию
,
тогда, если сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
и, наоборот, если расходится интеграл
,
то расходится и интеграл
.
Пример
3. Установить
сходимость интеграла
.
Решение.
Так как всегда
,
то справедливо соотношение
.
Учитывая, что
сходится, то сходится и заданный интеграл.