6. Криволинейные интегралы первого рода

6.1. Криволинейные интегралы первого рода и их приложения

Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая , гладкая или кусочно-гладкая, функция определена и ограничена на кривой . Разобьем кривую на частей не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму

(6.1)

где – длина -той частичной дуги

Пусть . Если существует предел интегральной суммы (6.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от выбора промежуточных точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается

т.е. (6.2)

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую

Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ

Если – длина кривой , то из формулы (6.2) при следует, что

Если кривая – материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью некоторая масса то

Если кривая задана параметрически: то

(6.3)

если кривая задана уравнением то

(6.4)

если кривая задана уравнением в полярных координатах то

(6.5)

Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически производится по формуле

(6.6)

Примеры.

Задача 1. Вычислить где часть эллипса лежащая в  квадранте.

Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в  квадранте, то Поэтому, так как то применяя формулу (6.3) получим

Задача 2. Вычислить где кривая, заданная уравнением

Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (6.5). Так как то

Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность

Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (6.4). Так как

то

6.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Вычислить где – кривая

Задача 2. Вычислить где – четверть окружности , лежащая в первом квадранте.

7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

7.1. Основные понятия об уравнениях первого порядка

Функциональное уравнение или , связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производную , называется дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Решением (частным решением) дифференциального уравнения на интервале называется любая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной , обращает его в тождество относительно . Уравнение , определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с координатами уравнение определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Функция называется общим решением дифференциального уравнения, если при любом допустимом значении параметра она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде при некотором значении параметра . Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Задачей Коши для дифференциального уравнения называется задача об отыскании частного решения этого уравнения, удовлетворяющего заданному условию .

Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении функция непрерывна в некоторой области плоскости и имеет в этой области ограниченную частную производную , то для любой точки в некотором интервале существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения .