5.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Задача 2. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .

Задача 3. Найти объем тела ограниченного поверхностями

5.3. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в двойном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями:

(5.10)

Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рис. 11), установлено соотношениями (5.10) взаимно однозначное отображение, причем функции (5.10) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан отображения в области не обращается в нуль, т.е.

то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле

(5.11)

Рис. 11. Отображение областей

В полярных координатах формулы (5.10) имеют вид Эти формулы связывают прямоугольные координаты с полярными координатами при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси В этом случае и формула (5.11) принимает вид

Для области ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы и , и кривыми и причем (см. рис. 12), получаем

(5.12)

Если область содержит начало координат (см. рис. 13), то

(5.13)

Рис. 12. Область D Рис. 13. Область D содержит

начало координат

Формулы (5.12) и (5.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.

Обобщенными полярными координатами называют переменные и , связанные с прямоугольными координатами и формулами где

В этом случае и формула (5.11) принимает вид

Примеры.

Задача 1. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде где – область на плоскости ограниченная окружностью , т.е. Поэтому . Перейдем в этом интеграле к полярным координатам:

В этих координатах область интегрирования записывается так: . Следовательно, используя формулу (5.13), получим

Задача 2. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.

Решение. Данная пластина изображена на рис. 14.

Рис. 14. Область D

По формулам (5.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:

Тогда изменяется от до (см. рис. 14), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в  квадранте имеет вид ) до (значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (5.12), получим

Аналогично получаем

5.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Вычислить интеграл по области в полярных координатах.

Задача 2. Найти площадь области , ограниченной кривыми .