1.9. Задачи для самостоятельного решения
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.10. Интегрирование тригонометрических функций
1.
Рассмотрим интегралы вида
.
Если
хотя бы одно из чисел
– нечетное положительное, то делаем
замену: функцию в четной степени
обозначаем новой переменной. От функции
в нечетной степени отделяем один
множитель, оставшуюся четную степень
выражаем через дополнительную функцию
с помощью формул
и
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Если оба числа – четные неотрицательные, то применяем формулы понижения степени
,
,
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
=
=
=
2.
Интегралы вида
и
вычисляются соответственно с помощью
подстановок:
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
.
3. При вычислении интегралов
,
,
применяют формулы
,
,
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
=
=
.
4.
Пусть
– рациональная функция своих аргументов
,
т.е. над
и
совершаются
только арифметические операции. Например,
=
– рациональная функция, а
=
–
не является рациональной.
Интегралы
вида
,
где
– рациональная функция аргументов
приводятся к интегралам от рациональной
функции нового аргумента
с помощью универсальной подстановки
.
При этом
,
,
.
Пример.
Найти
.
Решение. Делая подстановку
, , , ,
получим
=
=
=
=
.
1.11. Задачи для самостоятельного решения
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.12. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
Пусть
– рациональная функция. Функцию вида
называют дробно-линейной
иррациональностью.
Замена
рационализирует интеграл
.
Это следует из того, что
(а, значит, и
)
– рациональная функция.
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
Полагая
,
получим
,
,
.
Таким образом,
=
=
=
=
=
+
C.
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
=
=
=
=
=
=
+
C=
.
1.13. Задачи для самостоятельного решения
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.14. Интегрирование квадратичных иррациональностей
Пусть
– рациональная функция. Функцию
будем называть квадратичной
иррациональностью.
Пусть нужно вычислить интеграл
.
Выделив
под знаком корня полный квадрат
=
и сделав подстановку
,
получим интеграл одного из следующих
типов:
1.
.
2.
3.
В каждом из них можно избавиться от иррациональности с помощью следующих тригонометрических подстановок:
1.
2.
3.
Пример 1.
=
=
=
=
=
=
.
Пример 2.
=
=
=
=
=
=
.
Пример 3.
=
=
=
(см.
предыдущий пример) =
=
.
1.15. Задачи для самостоятельного решения
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2. Определенный интеграл
2.1. Определенный интеграл и его свойства
Пусть
на отрезке [a;
b],
,
задана функция
.
Разобьем данный отрезок на
частичных отрезков
,
где
.
В каждом из отрезков
возьмем произвольную точку
и составим сумму
Данную
сумму обозначим через
и назовем интегральной
суммой
функции
.
Если интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от разбиения отрезка [a; b], ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a; b], т.е.
,
где
– наибольшая из длин отрезков
,
.
Функция , для которой существует определенный интеграл на отрезке [a; b], называется интегрируемой на этом отрезке.
Перечислим ряд свойств определенного интеграла.
Если интегрируема на [a; b] функция, то
также интегрируемая на [a;
b]
функция и
.Если и
интегрируемые на [a;
b]
функции, то их сумма, также интегрируемая
на [a;
b]
функция и
.
=0.
.Пусть функция интегрируема в наибольшем из промежутков
,
,
.
Тогда она интегрируема в двух других
промежутках и имеет место равенство
.Пусть функция интегрируема на [a; b], и неотрицательна на [a; b]. Тогда она интегрируема и имеет место равенство
.Пусть и интегрируемы на [a; b] и
на
.
Тогда
.Пусть функция интегрируема на , . Тогда
также интегрируема на
и
.Пусть функция интегрируема на
и для произвольного
выполняется соотношение
.
Тогда
.Пусть функция непрерывна на , тогда найдется такая точка
,
что
.