Лекция 2. Схематизация компонентов технологических систем при описании процессов теплообмена

1. Схематизация формы нагреваемых тел

2. Схематизация источников и стоков теплоты

1 Схематизация формы нагреваемых тел

Реальную конфигурацию тел, участвующих в технологических системах, при схематизации приводят к одной из упрощенных форм (рис. 2.1).

Д опустимость той или иной идеализации формы реальных тел при теплофизических расчетах определяется в основном: 1) соотношением между размерами площадок, занимаемых источниками теплоты, и размерами нагреваемого тела; 2) промежутком времени от начала процесса теплообмена до момента, для которого рассчитывают температуры; 3) наличием пассивных граничных поверхностей; 4) требуемой точностью расчета. Чем меньше размеры источника по отношению к размерам нагреваемого тела, тем меньше влияние конкретной формы тела на температурное поле в области, прилежащей к источнику.

Схематизируя форму реальных тел, следует учитывать, имеет ли нагреваемый объект так называемые пассивные граничные поверхности. Пассивными называют такие поверхности, температура которых в течение всего теплового процесса меняется столь незначительно, что практически не влияет на температуру интересующей нас области тела. Пассивная граничная поверхность может быть при схематизации формы тела отодвинута на любое расстояние или придвинута к области тела, для которой рассчитывается температура. Например, если шлифуется толстая пластина, то при математическом описании закономерностей распределения температур на обрабатываемой поверхности можно принять, что шлифованию подвергается полубесконечное тело (полупространство). При сравнительно краткосрочном резании инструмент прогревается не целиком, а только в некотором объеме, что позволяет при теплофизическом анализе рассматривать резец как бесконечный клин.

2 Схематизация источников и стоков теплоты.

К основным признакам, по которым будем классифицировать источники (стоки) теплоты, относятся: форма и размеры; закон распределения плотности тепловыделения; скорость перемещения; длительность функционирования.

В реальных технологических системах источники и стоки теплоты имеют форму и размеры, которые не всегда точно можно описать математически. При анализе тепловых процессов реальные источники заменяют идеализированными, форма которых в той или иной степени приближена к фактической. При этом характеристиками формы источника полагают: мерность, ограниченность и конфигурацию зоны тепловыделения.

Идеализированные источники могут быть трехмерными, двумерными, одномерными и точечными. Трехмерными (объемными) называют такие источники, тепловыделение которых распределено по некоторому объему. Вообще говоря, все источники теплоты трехмерны, так как в любом процессе (трение, деформирование и т. д.) выделение энергии происходит в некотором объеме. Однако если размер объемного источника в направлении одной из осей координат намного меньше размеров в других направлениях» источник можно полагать двумерным. Одномерными называют источники, один из размеров которых настолько превышает другие, что значением последних можно пренебречь. Наконец, если все размеры источника весьма малы по сравнению с размерами области твердого тела, в которой он действует, источник можно полагать точечным. Такой источник используют в качестве некоторой математической абстракции, с помощью которой удобно конструировать формулы для описания процесса распространения теплоты от источников другой формы.

Непосредственно с мерностью и ограниченностью источников связано описание конфигурации зоны тепловыделения. Трехмерный, ограниченный в трех направлениях источник может иметь форму параллелепипеда, цилиндра, шара или какой-либо другой объемной геометрической фигуры. Двумерный источник, ограниченный в двух направлениях, может иметь форму прямоугольника, круга или другой плоской фигуры. Если двумерный источник ограничен только в одном направлении, он имеет вид бесконечной полосы. Одномерный источник может быть ограничен только в одном направлении. В этом случае конфигурация зоны тепловыделения имеет форму отрезка прямой, дуги окружности или участка какой-либо другой линии.

Закон распределения плотности тепловыделения. Рассмотрим область J твердого тела, в которой происходит выделение теплоты. Положим, что от начала процесса тепловыделения прошло время τ. в окрестности точки М с координатами x_и, y_и, z_и выделим элементарный объем dV. Пусть за время dτ в объеме dV выделилось элементарное количество теплоты dQ. Плотностью тепловыделения в точке М в момент времени τ называют отношение:

. (2.1)

Чтобы определить количество теплоты, выделившееся во всей области J за время τ, интегрируем выражение (2.1):

. (2.2)

Положим

, (2.3)

где q_о – максимальная плотность тепловыделения, Вт/м³; - безразмерная функция, описывающая закон распределения плотности тепловыделения во времени и в объеме области J.

При схематизации теплообмена на основе анализа физических явлений и величин, определяющих тепловыделение (силы, скорости, коэффициенты трения), составляют представление о возможности вида закона распределения и аппроксимируют его той или иной идеализированной функцией.

В табл.2.1 и на рис.2.2 представлены законы распределения плотности тепловыделения для одномерных источников, наиболее часто используемые при теплофизическом анализе технологических систем.

Т

№ п/п	Закон	Функция
1	Равномерный
2	Линейный
3	Линейный
4	Экспоненциальный
5	Нормальный несимметричный	, xu>0
6	Нормальный несимметричный	, xu<0
7	Нормальный симметричный
8	Комбинированный	при 0<xu<0,5; при 0,5<xu<1

аблица 2.1. Аналитическое описание законов распределения плотности тепловыделения для одномерных источников

Обычно известны количество теплоты Q или средняя мощность тепловыделения W за время τ и требуется при заданном законе распределения определить наибольшую плотность q_о:

, (2.4)

где . ; .

Скорость перемещения и длительность функционирования источников.

По скорости перемещения источники разделяются на неподвижные (V = 0), движущиеся (V >0) и быстродвижущиеся. Быстродвижущиеся - это источники, скорость V перемещения которых превышает скорость V распространения теплоты в данном теле. Чтоб определить, является ли данный источник быстродвижущимся, следует рассчитать безразмерный критерий Пекле:

(2.5)

где l - длина источника в направлении перемещения, V - скорость перемещения источника, м/с; ω - коэффициент температуропроводности материала, в котором (или по которому) перемещается источник, м²/с.

Если Ре > 10, то источник можно отнести к быстродвижущимся.

Длительность функционирования источника характеризуют безразмерным критерием

, (2.6)

где τ - время, в течение которого действует источник.

Безразмерный комплекс Fо носит название критерия Фурье или безразмерного времени. По длительности функционирования источники можно разделить на мгновенные (Fо = 0), действующие в течение конечного промежутка времени (Fо > 0) и действующие столь длительное время, что процесс теплообмена под влиянием источника можно полагать установившимся (Fо > оо). Предельные значения критерия Fо, соответствующие переходу от одной разновидности источника к другой, зависят от конкретной теплофизической обстановки в технологической подсистеме или теле.

Мгновенных источников на практике не существует, но в некоторых процессах тепловыделение происходит столь кратковременно, что длительностью этого импульса можно пренебречь. Мгновенный источник используют также как некоторую абстракцию, позволяющую конструировать математические выражения для описания процесса распространения теплоты в сложных случаях.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что понимается под технологической системой (ТС)?

2. Каковы основные виды теплообмена в ТС?

3. Каковы разновидности температурных полей в твердом теле?

4. В чем суть основного закона теплопроводности?

5. Как различаются дифференциальные уравнения теплопроводности для различных температурных полей в твердом теле?

6. По каким признакам схематизируются нагреваемые тела?

7. По каким признакам схематизируются источники и стоки теплоты?

8. Что такое закон распределения плотности тепловыделения и каковы разновидности функций распределения?

9. Как схематизируются источники по скорости перемещения и длительности функционирования?

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССОВ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Лекция 3. Метод непосредственного интегрирования

1. Начальные и граничные условия

2. Метод непосредственного интегрирования дифференциального

уравнения теплопроводности