29. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Подпоследовательности
Определение.
Пусть задана некоторая последовательность {
}
и
есть
строго возрастающая последовательность
натуральных чисел. Тогда последовательность
называется подпоследовательностью
последовательности {
}.
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание
2.
Пусть {xn}
- ограниченная последовательность,
элементы которой находятся в сегменте
[a, b].
Тогда предел с любой сходящейся
подпоследовательности 
также
находится на сегменте [a, b].
Действительно,
так как 
,
то в силу следствия
2 выполняются
неравенства a ≤ c ≤ b.
Это и означает, что c находится
на сегменте [a, b].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3, ..., n, 1/(n+1), ... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2, ..., n, ... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.
Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так: любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
30. Теоремы вейерштрасса
Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции
Формулировка: Если функция ff непрерывна на отрезке [a,b][a,b] , то ff ограниченна на отрезке [a,b][a,b]. Если f ϵ C[a,b]⇒ff ϵ C[a,b]⇒f ограниченна на [a,b][a,b], то есть ∃ c>0 ∀x ϵ [a,b]:|f(x)|≤c∃ c>0 ∀x ϵ [a,b]:|f(x)|≤c
Доказательство
От противного Пусть ff неограниченна на отрезке [a,b][a,b], тогда :
∀c>0 ∃xcϵ[a,b]:|f(xc)|>c∀c>0 ∃xcϵ[a,b]:|f(xc)|>c c=1 ∃x1ϵ[a,b]:|f(x1)|>1c=1 ∃x1ϵ[a,b]:|f(x1)|>1 c=2 ∃x2ϵ[a,b]:|f(x2)|>2c=2 ∃x2ϵ[a,b]:|f(x2)|>2 c=n ∃xnϵ[a,b]:|f(xn)|>nc=n ∃xnϵ[a,b]:|f(xn)|>n
Получим последовательность {xn}⊂[a,b]{xn}⊂[a,b] , то есть последовательность {xn}{xn} ограниченная Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке ξξ , то есть
limk→∞xnk=ξlimk→∞xnk=ξ
ξϵ[a,b]ξϵ[a,b] по свойству пределов в форме неравенств
Но по условию функция f непрерывна в точке ξξ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне: limk→∞f(xnk)=f(ξ)limk→∞f(xnk)=f(ξ) С другой стороны |f(xnk)|>nk,nk≥k⇒limk→∞f(xnk)=∞|f(xnk)|>nk,nk≥k⇒limk→∞f(xnk)=∞ А это противоречит единственности предела■◼
Замечание: Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!
- Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ
Вторая теорема Вейерштрасса
Если 
,
то она достигает своих точных граней,
то есть
и
.
Доказательство:
Обозначим 
(следует
из первой
теоремы Вейерштрасса)
В
силу определения точной верхней грани
выполняется условие: 
Полагая 
получим последовательность 
такую,
что для всех 
выполняются
условия 
откуда
получаем 
существует
подпоследовательность 
(по теореме Больцано-Вейерштрасса)
последовательности
и точка 
,
такие что 
,
где 
В
силу непрерывности
функции
в
точке
С
другой стороны 
–
подпоследовательность последовательности 
,
сходящейся к числу 
Поэтому 
В
силу единственности предела
последовательности заключаем, что
Утверждение доказано.
Аналогично доказывается Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).
30.
Пусть
функция 
определена
на промежутке 
.
Возьмем произвольную точку 
.
Дадим значению 
приращение 
,
тогда функция получит приращение 
.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Производная
функции имеет несколько обозначений: 
, 
, 
, 
.
Дифференцируемые функции и дифференциал
Определение: Если
функция
определена
в окрестности точки 
и 
,
где 
,
а 
–
некоторая константа,
то функцию
называют дифференцируемой в
точке
и 
называется дифференциалом функции
в
точке
.
Определение: Если
функция 
дифференцируема
в любой точке 
,
то функция 
называется дифференцируемой на
промежутке 
.
Замечание: Если
–
дифференцируема на промежутке
и 
и 
,
то функция
называется
дифференцируемой на отрезке 
.