20. Теорема 13.3 (Теорема Кантора).

Если функция  непрерывна на отрезке  , то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Предположим противное: пусть функция  , но не равномерно непрерывна на  , т.е.  . Возьмем последовательность   так, чтобы  . Для этого обозначим  . Тогда существуют элементы последовательности   такие, что  . Причем очевидно, что  . По лемме Больцано-Вейерштрасса 8.1 из данной последовательности можно извлечь подпоследовательность  , имеющую предел  . По теореме о предельном переходе в неравенстве 5.2 имеем:  . Таким образом,  . Так как  , то и  . Так как функция непрерывна:  , то  . Запишем эти 2 предела в виде:  . По свойству модулей:  , обозначив   имеем:  . Одновременно получаем:   - противоречие. Теорема доказана.