31. Связь дифференцируемости и непрерывности функции
Имеет место
следующая теорема. Если
функция
дифференцируема
в точке 
,
то она непрерывна в
этой точке.
Доказательство. Так
как функция 
дифференцируема в
точке
,
то существует конечный предел 
.
Тогда по теореме о связи бесконечно
малой с
функцией, имеющей конечный предел, будем
иметь
,
где 
- бесконечно
малая величина при 
.
Откуда
.
Переходя
в этой формуле к пределу при
,
получим по свойствам бесконечно малых,
что 
.
Следовательно, по одному из определений непрерывности функция в точке является непрерывной.
Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. функция может быть непрерывной в данной точке, но не быть дифференцируемой в этой точке.
В
качестве примера исследуем функцию 
в
точке 
,
которая непрерывна в точке
(впрочем,
как и во всех других точках числовой
прямой). В этой точке ее левосторонний
и правосторонний
пределы равны
нулю, что совпадает со значением самой
функции в точке 
.
По определению
Таким
образом, функция
в
точке 
имеет
конечные, но не равные друг другу
односторонние производные (левая
равна 
,
а правая равна 
).
Поэтому она не имеет производной в этой
точке и не является в ней дифференцируемой.
32. Касательная к графику функции
Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).
Другое определение: это предельное положение секущей при Δx→0.
Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
k = tg α |
Здесь
угол α – это угол между прямой y
= kx + b и
положительным (то есть против часовой
стрелки) направлением оси абсцисс. Он
называется углом
наклона прямой (рис.1
и 2).
Если
угол наклона прямой y
= kx + b острый,
то угловой коэффициент является
положительным числом. График возрастает
(рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) |
Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Определить х0.
2. Вычислить f(x0).
3. Вычислить f’(x)
4. Вычислить f’(x0)
5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
33. Определение. Сложной функцией (или композицией двух функций) называется функция h(x)=f(g(x)).
Теорема о производной сложной функции
Пусть функция f(y) дифференцируема в точке y0, а функция g(x) дифференцируема в точке x0, причём g(x0)=y0. Тогда функция h(x)=f(g(x)) тоже имеет производную в точке x0, причём h′(x0)=f′(g(x0))⋅g′(x0).
Доказательство. Согласно определению нам нужно вычислить предел
limx→x0h(x)−h(x0)x−x0=limx→x0f(g(x))−f(g(x0))x−x0.
Умножим и разделим дробь на g(x)−g(x0), разобьём дробь в произведение двух и воспользуемся тем, что предел произведения равен произведению пределов
limx→x0h(x)−h(x0)x−x0=limx→x0f(g(x))−f(g(x0))x−x0g(x)−g(x0)g(x)−g(x0)==limx→x0f(g(x))−f(g(x0))g(x)−g(x0)g(x)−g(x0)x−x0==limx→x0f(y)−f(y0)y−y0limx→x0g(x)−g(x0)x−x0
(мы воспользовались обозначением y=g(x) и y0=g(x0)).
Обратите внимание, что по определению производной второй предел равен g′(x0). Относительно первого предела можно сказать, что при x→x0 в силу непрерывности функции g в точке x0 y→y0. Поэтому
limx→x0f(y)−f(y0)y−y0=limy→y0f(y)−f(y0)y−y0=f′(y0).