42. Признак монотонности функций

    Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).  Докажем, например, что если на интервале (a,b) производная функции f неотрицательна (f'(x) > 0 для всех x   (a,b)), то функция f возрастает на (a,b). Действительно, если x₁   (a,b), x₂   (a,b) и x₁ < x₂, то по теореме Лагранжа

f(x2) - f(x1) = f'( )(x2 - x1),     x1 <   < x2,

(15.1)

а так как по условию f'( ) > 0, то из равенства (15.1) следует, что f(x₂) - f(x₁) > 0, т. e.

f(x1) < f(x2).

(15.2)

При этом если для всех x   (a,b) выполняется неравенство f'(x) > 0 и, следовательно, в равенстве (15.1) f'( ) > 0, то f(x₂) - f(x₁) > 0, т. е.

f(x1) < f(x2)

(15.3)

- функция f строго возрастает.      Пусть теперь функция f возрастает на интервале (a,b) и имеет в точке x₀   (a,b) производную. Возьмем  x > 0, тогда

f(x₀ +  x) > f(x₀)

и, следовательно,

(f(x0 +  x) - f(x0))/ x > 0

(15.4)

Рис. 82

Переходя в этом неравенстве к пределу при  x 0, получим

f'(x0) > 0.

(15.5)

    Аналогично теорема 1 доказывается для убывающих функций.       Замечание 1. Как было показано, условие положительности производной на интервале является достаточным условием строгого возрастания. Отметим, что это условие не является, однако, необходимым условием строгого возрастания. Действительно, например, функция f(x) = x³ строго возрастает на всей числовой оси, однако ее производная f'(x) = 3x² не всюду положительная - она обращается в нуль при x = 0 (рис. 82).

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Точка   называется точкой локального максимума функции  , если выполняется условие:  Аналогично точка   называется точкой локального минимума функции   , если выполняется условие: 

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка   – точка экстремума функции  , то она критическая.

Доказательство

По условию точка   – точка экстремума функции     по теореме Ферма производная     точка   является критической.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Понятие экстремума функции

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. найти производную  ;

2. найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию   на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение  :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку  . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку   производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем  .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале  производная  , то на этом интервале функция   является убывающей; на интервале   производная  , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. 

Второе достаточное условие экстремума

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки  ;

2. первая производная   в точке  ;

3.  в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция  имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.