44. Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.
Определение.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.
Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.
Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.
Определение.
Точка 
называется точкой
перегиба графика функции y=f(x),
если в данной точке существует касательная
к графику функции (она может быть
параллельна оси Оу)
и существует такая окрестность точки 
,
в пределах которой слева и справа от
точки М график
функции имеет разные направления
выпуклости.
Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.
Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.
На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.
Нахождение интервалов выпуклости функции.
Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.
Теорема.
Если
функция y=f(x) имеет
конечную вторую производную на
интервале Х и
если выполняется неравенство 
(
),
то график функции имеет выпуклость
направленную вниз (вверх) на Х.
Эта
теорема позволяет находить промежутки
вогнутости и выпуклости функции, нужно
лишь на области определения исходной
функции решить неравенства 
и 
соответственно.
Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.
45. Асимптоты графика функции
Виды асимптот
Определение
Прямая
называется вертикальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
или 
.
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая 
называется горизонтальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
.
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Определение
Прямая 
называется наклонной
асимптотой графика
функции
,
если
Ограниченность непрерывной на отрезке функции
Теорема 13.1 (Первая теорема Вейерштрасса).
Если
функция 
непрерывна
на отрезке 
,
то она ограничена на данном
отрезке. Замечание: на
интервале 
функция
может быть не ограничена.
.
Доказательство.
Предположим,
что
непрерывна,
но неограниченна: 
.
По
лемме Больцано-Вейерштрасса,
из последовательности 
можно
извлечь частичную последовательность 
,
сходящуюся к пределу 
:
.
По теореме о предельном переходе в
неравенстве 
.
Так как 
, 
.
Мы пришли к противоречию.
То
есть 
-
ограничена. 
.
Теорема 13.2 (Вторая теорема Вейерштрасса).
Если
функция
непрерывна
на отрезке
,
то она достигает свои точные верхнюю и
нижнюю грани. 
Эта теорема означает, что достигаемые sup и inf означают соответственно max и min функции.
Доказательство.
Докажем,
что достигается sup (inf - аналогично).
Предположим, что 
на
отрезке
.
Рассмотрим вспомогательную функцию 
,
которая непрерывна (знаменатель 
)
и ограничена (по теореме 13.1)
на
: 
. 
, 
.
Таким образом 
.
Но M - наименьшая из
верхних граней, а мы пришли к противоречию,
т. к. 
-
тоже верхняя грань. Теорема доказана.
Определение.
Функция
называется равномерно
непрерывной на
множестве 
,
если для любого 
существует
такое
,
зависящее от
,
что для любых 
,
для которых 
, 
,
т.е. 
Равномерность заключается в том, что выбранное зависит только от и не зависит от x. То есть существует , равномерно пригодное для людого x.