4. Случайные погрешности и обработка результатов измерений
4.1. Основные сведения
4.1.1.
При выполнении измерений случайные и
систематические погрешности появляются
одновременно, поэтому погрешность
измерения
следует рассматривать как случайную
величину, где систематическая погрешность
есть
математическое ожидание этой величины,
а случайная погрешность
-
центрированная случайная величина [1].
4.1.2.
Полным описанием случайных погрешностей
являются законы их распределения:
интегральный
и дифференциальный
,
связь между которыми имеет следующий
вид:
и
4.1.3. Числовые характеристики (моменты) закона распределения – это математическое ожидание M[ ] и дисперсия D[ ], которые определяются по формулам:
, (4.1)
(4.2)
Средняя квадратическая погрешность определяется по формуле
(4.3)
Вероятность
попадания погрешности
в интервал (
)
определяется по формулам
(4.4)
4.1.4. На практике наиболее часто встречаются следующие законы распределения: закон равномерной плотности, треугольный закон, нормальный закон и распределение Стьюдента.
Закон равномерной плотности имеет следующие числовые характеристики:
(4.5)
Числовые характеристики треугольного закона распределения:
(4.6)
В
формулах (4.5), (4.6)
и
- границы закона распределения.
Нормальный закон распределения описывается формулой (4.7).
(4.7)
Для практического применения нормального закона необходимо принять какое-то значение измеряемой величин за истинное. В качестве такого значения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений величины Х, полученное из формулы
, (4.8)
где
-
среднее арифметическое ряда измерений
(математическое ожидание), Xi
–
i-й
результат измеряемой величины из ряда
(выборки) X1,
X2,…,Xn,
n
– число измерений в ряде (объем выборки).
Тогда средняя квадратическая погрешность (СКП) измерения определяется формулой Бесселя
, (4.9)
где
- остаточная погршеность.
Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического
(4.10)
Оценки
,
,
называются точечными.
На практике обычно используются интервальные оценки в виде доверительной вероятности и доверительных границ погрешности (доверительного интервала). Для нормального закона доверительная вероятность P(t) определяется с помощью интеграла вероятности Ф(t) (4.11) (функция табулизирована)
, (4.11)
где
- кратность случайной погрешности,
- доверительный интервал.
Зная
доверительные границы
и
,
можно определить доверительную
вероятность
(4.12)
Если
доверительные границы
и
симметричны, т.е.
,
то
и
.
(4.13)
При
малом числе измерений в ряде (
)
используется распределение Стьюдента.
Плотность
вероятности зависит от значения случайной
погрешности
и числа измерений в ряде n,
т.е.
.
Доверительные границы Е
в этом случае определяются
, (4.14)
где
- коэффициент Стьюдента (определяется
из таблицы III
приложения).
Доверительная граница и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.
4.1.5. При статистической обработке результатов наблюдений выполняются следующие операции.
1. Исключение систематических погрешностей, введение поправок.
2.
Вычисление среднего арифметического
исправленных результатов наблюдений,
которое принимается за оценку истинного
значения измеряемой величины (формула
4.8).
3.
Вычисление оценки СКП измерений (
)
и среднего арифметического измерения
(
)
(формулы 4.9, 4.10).
4. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдений.
5. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95 или 0,99 (формула 4.14).
6. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений.
7. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.
8. Запись результата измерений.
4.1.6.
Проверка гипотезы о нормальности
распределения осуществляется по критерию
(Пирсона) или
(Мизеса-Смирнова), если
;
по составному критерию, если
.
При
нормальность распределения не проверяется.
Если
результаты наблюдений распределены
нормально, то определяется наличие
промахов. В таблице IV
приложения указаны предельные значения
коэффициента
для различных значений теоретической
вероятности появления большой ошибки,
которую обычно называют уровнем
значимости
,
при определенном объеме выборки.
Процедура обнаружения промахов
заключается в следующем. Строится
вариационный ряд из результатов
наблюдений
.
Определяется среднее арифметическое
выборки (
)
и СКП выборки (
).
Затем вычисляют коэффициенты
(4.15)
Полученные
значения
и
сравнивают с
для заданного уровня значимости q
при заданном объеме выборки. Если
или
,
то данный результат является промахом
и должен быть отброшен.
4.1.7. Проверка согласия экспериментального распределения нормальному с помощью составного критерия осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости q в пределах от 0,02 до 0,1.
Критерий
1. Производится сравнение вычисляемой
по опытным данным величины d
с теоретическими точками распределения
и
(приведены в таблице V
приложения) и соответствующие нормальному
закону распределения при заданном
уровне значимости q1
критерия 1.
Вычисление величины d производится по формуле
, (4.16)
где
Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределений верна, если вычисленная величина d лежит в пределах
(4.17)
Критерий 2. Оценка по критерию 2 заключается в определении числа отклонений mэ экспериментальных значений tэi от теоретического значения tт для заданного уровня значимости q2. Для этого при заданных q2 и n находится параметр по данным из таблицы VI приложения.
Далее
находится квантиль интегральной функции
нормированного нормального распределения
,
которая определяется из таблицы II
приложения для значения
.
Затем вычисляются экспериментальные
значения
параметра
по формуле
(4.18)
Вычисленное
значение
сравнивается с теоретическим значением
и подсчитывается число отклонений
,
для которых удовлетворяется неравенство
.
Значение
сравнивается с теоретическим числом
отклонений
,
которое находится из таблицы VI
приложения. Если
,
то распределение данного ряда наблюдений
не противоречит нормальному.
Если
соблюдаются оба критерия, то данный ряд
подчиняется нормальному распределению.
При этом уровень значимости составного
критерия принимается равным
.
4.1.8. Определение границ неисключенной систематической погрешности осуществляется по формуле [8]
, (4.19)
где
- граница i-й
неисключенной систематической
погрешности;
- коэффициент, определяемый принятой
доверительной вероятностью; при Р
= 0,95
= 1,1.
В качестве границ неисключенной систематической погрешности можно принимать пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.
4.1.9.
При вычислении доверительной границы
погрешности результата определяют
отношение
.
Если
,
то пренебрегают случайной погрешностью
и принимают, что
.
Если
,
то границу погрешности находят путем
суммирования случайных и неисключенных
систематических погрешностей,
рассматриваемых как случайные величины:
,
где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;
-
оценка СКП среднего арифметического.
,
(4.20)
Границы
случайной
и систематической
погрешностей нужно выбирать при одной
и той же доверительной вероятности.
4.1.10.
Результат измерения записывается в
виде
.