5. Оценка погрешности результата косвенных измерений

5.1. Основные сведения

5.1.1. При оценке погрешности результата косвенных измерений необходимо учитывать долю отдельных погрешностей аргументов в результирующей погрешности Y. Для этого используется метод частных производных

(5.1)

Полученные таким образом значения можно рассматривать как «веса», с которыми в суммарную абсолютную погрешность входят составляющие в идее абсолютных погрешностей измерения каждого (частные погрешности). Если погрешности аргументов заданы средними квадратическими погрешностями (СКП) аргументов, то аналогично .

Далее возникает задача суммирования частных погрешностей для получения результирующей погрешности косвенного измерения . При суммировании используется два метода:

1. Алгебраическое суммирование (5.2)

2. Геометрическое суммирование (5.3)

Для случая использования СКП абсолютных погрешностей аргументов и при отсутствии корреляционных связей между ними

; (5.4)

Если между частными погрешностями существует взаимосвязь (корреляция), то

(5.5)

где - коэффициент корреляции между СКП случайных погрешностей и аргументов.

5.1.2. Приведенные формулы учитывают только случайную составляющую погрешности прямых измерений аргументов. Если при этом имеется неисключенная систематическая погрешность , то ее заменяют эквивалентной случайной величиной, распределенной по равномерному закону. В этом случае

(5.6)

5.1.3. Для простейших функций Y метод частных производных приводит к простым соотношениям [7].

1. Функциональная связь представляет сумму или разность аргументов В этом случае

(5.7)

(5.8)

где a, b, c, … - постоянные коэффициенты

По полученным значениям абсолютных погрешностей определяются относительные погрешности

(5.9)

2. Функциональная связь представляет произведение или частное ,

где k – числовой коэффициент.

В этом случае

(5.10)

(5.11)

где - относительные погрешности аргументов.

Абсолютные погрешности определяются путем соответствующих пересчетов.

Эту методику можно использовать, если значения аргументов и их погрешности заданы через вероятностные характеристики (математическое ожидание и СКП).

5.2. Задачи и примеры

5.2.1. Определите величину и погрешность емкости блока, состоящего из десяти конденсаторов, величина и погрешности которых известны. Конденсаторы включены параллельно: 2 конденсатора по мкФ, 3 конденсатора по мкФ и 5 конденсаторов по мкФ [формулы 5.2, 5.3, 5.7, 5.8].

Ответ: мкФ; мкФ.

5.2.2. Определите величину и погрешность сопротивления двенадцати резисторов, включенных последовательно, величина и предельные погрешности которых известны: 2 резистора по Ом, 4 резистора по Ом, 6 резисторов по Ом.

Ответ: Ом; Ом.

5.2.3 на магазине сопротивлений КМС-4 набрано сопротивление 3455 Ом. Величина и предельные погрешности декад имеют следующие значения: Ом, Ом, Ом, Ом. Определите абсолютную погрешность сопротивления и запишите установленное значение сопротивления с учетом погрешности при алгебраическом и геометрическом суммировании.

Ответ: Ом; Ом.

5.2.4. Результат косвенного измерения записывается как , где ; ; ; . Средние квадратические погрешности аргументов . Определите результат измерения и его погрешность. (формулы 5.4, 5.9 – 5.11).

Ответ: .

5.2.5. Найдите значение электрической энергии и погрешность ее определения при алгебраическом и геометрическом суммировании, если по нагрузке кОм протекает ток мА в течение времени с.

Ответ: Дж; Дж.

5.2.6. Найдите значение емкости конденсатора и погрешность ее определения на основании измерения силы тока через него А с погрешностью , приложенного напряжения U = 150 В с погрешностью , частота Гц с погрешностью Гц. Запишите результат измерения, используя алгебраическое и геометрическое суммирование погрешностей.

Ответ: мкФ; мкФ.

5.2.7. Резонансная частота контура определяется по формуле . Полученные значения L = 25 мГн и С = 280 пФ измерены со средними квадратическими погрешностями мГн и пФ, которые не коррелированны. Определите среднюю квадратическую погрешность измерения частоты .

Ответ: Гц.

5.2.8. Измерение емкости производились методом замещения с помощью Q-метра по формуле , где пФ, которые известны с погрешностями пФ, пФ. Вычислите погрешность измерения емкости .

Решение. Результат измерения

. Погрешность измерения

пФ. Погрешность носит систематический характер и ее можно исключить:

пФ

5.2.9. Для условий задачи 5.2.8. вычислите среднюю квадратическую погрешность измерения емкости, если известны средние квадратические погрешности аргументов пФ, которые коррелированны с коэффициентом корреляции .

Ответ: пФ.

5.2.10. Мощность в нагрузке определяется по измеренным значениям тока I = 15 мА и напряжения U = 100 В. Известны средние квадратические погрешности (СКП) измерения тока мА и напряжения В, которые жестко коррелированны. Определите среднюю квадратическую погрешность измерения мощности и запишите результат измерения.

Решение. Результат измерения определяется Вт.

Из формулы (5.5) определим СКП измерения мощности

Относительное значение этой погрешности равно:

,

где - относительные значения СКП измерения тока и напряжения. При жесткой корреляции . Тогда . Определим эти значения:

;

.

Тогда и абсолютное значение СКП измерения мощности Вт.

Результат измерения: Вт; Вт.

5.2.11. Сопротивление определяется по измеренным значениям протекающего по резистору тока I = 20 мА и падению напряжения на нем U = 40 В. Известны СКП мА и В, которые коррелированны. Определите СКП измерения сопротивления, если коэффициент корреляции .

Ответ: Ом.

5.2.12. Сопротивление R_x измерено с помощью четырехплечего моста и определялось по формуле . Найдите относительную погрешность измерения , если относительные погрешности измерения сопротивлений (формула 5.1): , .

Ответ: .

5.2.13. Для условия задачи 5.2.12. определите СКП измерения , если известны относительные значения СКП сопротивлений . Погрешности и коррелированны с коэффициентом корреляции .

Ответ: .

5.2.14. Измерение индуктивности проведено мостовым способом с использованием формулы . Определите СКП измерения индуктивности , если известны СКП сопротивлений Ом, Ом и эталонной емкости мкФ. Корреляционная связь между погрешностями отсутствует, значения величин R₂ = 100 Ом, R₄ = 200 Ом, С = 2 мкФ. Запишите результат измерения.

Ответ: L_x = 40,0 мГн; мГн.

5.2.15. Мощность, потребляемая нагрузкой, определялась по формуле P = I²R. Измеренные значения тока I = 50 мА, сопротивления R = 100 Ом. Вычислите предельную относительную погрешность измерения и запишите результат измерения мощности, если предельное значение погрешности измерения тока , сопротивления .

Ответ: Вт.

5.2.16. Результат косвенного измерения величины , где Х₁ = 10, Х₂ = 40. Предельные абсолютные значения погрешностей аргументов . Определите величину Y и предельную погрешность ее измерения; запишите результат измерения.

Указание: при решении используйте метод частных производных (формула 5.1).

Ответ: Y = 20000 840.

5.2.17. Результат косвенного измерения величины Y определяется соотношением Y = (Х₁+Х₂)/Х₁Х₂, где Х₁ = 10, Х₂ = 40; предельные абсолютные погрешности . Определите предельное значение погрешности измерения и запишите результат измерения.

Ответ: Y = 0,125 0,002.

5.2.18. Сопротивление R_(x) измерялось методом одного вольтметра и рассчитывалось по формуле . Показания вольтметра U₁ = 120 В, U₂ = 80 В, сопротивление вольтметра R_V = 50 кОм. Известны предельные погрешности измерения напряжений: , , погрешностью сопротивления вольтметра можно пренебречь. Определите величину сопротивления и предельную погрешность его измерения.

Ответ: кОм.

5.2.19. Мощность в цепи постоянного тока определялась по формуле , где U = 100 В, I = 1А. Средние квадратические погрешности (СКП) измерения напряжения и тока равны В, мА, не исключенные систематические погрешности измерения напряжения и тока равны мА. Определите абсолютную и относительную СКП измерения мощности.

Решение. Вычислим значение измеряемой мощности: Вт.

Для нахождения абсолютной СКП измерения мощности воспользуемся формулой (5.6).

Вт

Относительное значение этой погрешности будет равно .

5.2.20. Активная мощность в цепи переменного тока определяется по формуле , где U = 150 В, I = 0,5 А, . Определите абсолютную и относительную СКП измерения активной мощности, если СКП аргументов равны: мА, В, , а не исключенные систематические погрешности равны: мА, В, .

Ответ: Р = 67,5 Вт; Вт; .

5.2.21. Мощность, потребляемая нагрузкой, определяется по формуле Р = I²R. Измеренные значения I = 50 мА, R = 100 Ом. Относительные СКП измерения аргументов ; относительные неисключенные систематические погрешности . Определите значение мощности и абсолютную среднюю квадратическую погрешность ее измерения.

Ответ: Р = 250 мВт; мВт.

5.2.22. Измерение сопротивления производится косвенным методом с помощью амперметра и вольтметра. Измерения проведены в нормальных условиях, средние арифметические значения результатов измерения В, мА; СКП измерений, полученные из 10 наблюдений, равны В, мА. Предельные погрешности измерения напряжения и тока равны , . Корреляционная связь между и отсутствует. Входные сопротивления приборов R_A = 15 Ом, R_V = 10 кОм. Нарисуйте схему измерения, определите и запишите результат измерения сопротивления при заданной доверительной вероятности P_s = 0,95.

Решение. 1. Для измерения сопротивления этим методом можно использовать две схемы включения приборов (рис. 5.1 и рис. 5.2).

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Результат измерения сопротивления с помощью этих схем будет содержать погрешность метода. Определим ее для каждой схемы.

Для схемы рис. 5.1

Для схемы рис. 5.2 ,

где кОм.

Следовательно, ;

.

Таким образом, для измерения выбираем схему рис. 5.2

2. Абсолютная погрешность метода будет равна Ом. Эта погрешность имеет систематический характер и е можно исключить из результата измерения введением поправки Ом.

Тогда Ом.

3. Предельная относительная погрешность измерения сопротивления определяется

Тогда Ом.

4. Определим средние квадратические погрешности среднего арифметического измерения тока и напряжения

В,

мА.

5. Используя метод частных производных, находим СКП среднего арифметического измерения сопротивления

Ом

6. Доверительные границы суммарной погрешности определяются одним из трех способов

а) Если , то пренебрегают неисключенной систематической погрешностью Ом (см. п. 4.1.8, формула 4.18) и .

б) Если , то пренебрегают случайной погрешностью .

в) Если , то необходимо искать композицию неисключенной систематической и случайной составляющих погрешности

, где ,

В данном случае , т.е. следует использовать первый случай и

Ом.

7. Результат измерения Ом, .

5.2.23. Оценка мощности, рассеиваемой в резисторе, проводилась по формуле . Измерения проводились в нормальных условиях вольтомметром В7-16А; средние арифметические значения результатов измерения U = 758,8 мВ; R = 5,355 кОм; СКП мВ, кОм. Предельные относительные погрешности измерения напряжения ; . Корреляционная связь между и отсутствует. Входное сопротивление прибора В7-16А R_вх = 10 МОм. Определите и запишите результат измерения мощности при заданной доверительной вероятности Р = 0,95.

Ответ: Р = (107,6 6,8) мкВт, Р = 0,95.

5.2.24. Измерение сопротивления производилось косвенным методом с помощью амперметра и вольтметра (см. задачу 5.2.22.). Измерения проводились в нормальных условиях; средние арифметические значения результатов измерения, полученные из 10 опытов, равны В, А; СКП измерений В, А. Предельные погрешности измерения равны , . Корреляционная связь между и отсутствует. Входные сопротивления приборов R_A = 1,5 Ом, R_V = 10 кОм. Определите и запишите результат измерения сопротивления при заданной доверительной вероятности P_s = 0,95.

Ответ: Ом; P_s = 0,95.

5.2.25. Измерение мощности производится косвенным методом с помощью амперметра и вольтметра по схеме рис. 5.1. Числовые значения используйте из задачи 5.2.24. Определите и запишите результат измерения для заданной доверительной вероятности P_s = 0,9.

Ответ: Вт; P_s = 0,9.

5.2.26. Измерения мощности производится косвенным методом с помощью амперметра и вольтметра по схеме рис. 5.2. Числовые значения используйте из задачи 5.2.22.. Определите и запишите результат измерения мощности при заданной доверительной вероятности P_s = 0,9.

Ответ: мВт, P_s = 0,9.