Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник примеров и задач Лапшин.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

4.2. Задачи и примеры

4.2.1. Погрешность результата измерения напряжения распределена равномерно в интервале от В до В.

Рис. 4.1

Найдите систематическую погрешность результата измерения, среднюю квадратическую погрешность и вероятность того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от В до В (рис. 4.1).

Решение. Систематическая погрешность равна математическому ожиданию, которое для равномерного закона распределения определяется формулами (4.1, 4.5).

В.

Средняя квадратическая погрешность определяется формулами (4.2, 4.3, 4.5).

В.

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется из соотношения (4.4).

где - высота закона распределений.

Следовательно, .

4.2.2. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно с параметрами мА, мА. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: мА; мА.

4.2.3. Погрешность результата измерения напряжения распределена по равномерному закону с параметрами с = 0,25 1/В, мВ. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: В; В.

4.2.4. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно в интервале от мА; мА. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в диапазоне от мА до мА.

Ответ: мА; мА; Р = 0,5.

4.2.5. Погрешность измерения мощности распределена по треугольному закону в интервале от Вт до Вт. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт. (формулы 4.4, 4.6).

Ответ: ; Вт; Р = 0,28.

4.2.6. Для закона распределения погрешностей измерения напряжения, показанного на рис. 4.2, определите систематическую погрешность , среднюю квадратическую погрешность , если В. Найдите вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт.

Рис. 4.2

Ответ: В; В; Р = 0,25.

4.2.7. Для закона распределения погрешностей, показанного на рис. 4.3, определите систематическую погрешность и среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если В, В. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на В.

Рис. 4.3

Ответ: В; В; Р = 0,67.

4.2.8. Погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность равна нулю, а средняя квадратическая погрешность мВ. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на мВ.

Решение. Воспользуемся формулой (4.13).

Для нашего случая:

Следовательно, вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения, равна 0,98.

4.2.9. Результат измерения тока содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мА. Систематическая погрешность отсутствует. Какова вероятность q того, что погрешность превысит по абсолютной величине мА?

Ответ: .

4.2.10. Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мВт. Систематическая погрешность мВт. Найдите вероятность Р того, что результат измерения (неисправленный) превысит истинное значение мощности [6].

Ответ: Р = 0,31.

4.2.11. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: = 19 мА.

4.2.12. Контрольная поверка ЭДС нормального элемента показала, что 60% погрешностей не выходит за пределы мкВ. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону, определите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: мкВ.

4.2.13. В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найти вероятность Р того, что погрешность измерения превосходит мА.

Ответ: .

4.2.14. В задаче 4.2.13. найдите симметричный доверительный интервал, вероятность попадания в который Р = 0,5.

Ответ: мА.

4.2.15. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по равномерному закону, найдите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: = 16,5 мА.

4.2.16. Предполагаемая дисперсия случайной погрешности частотомера была вычислена заранее и составила D = 100 Гц². Определите, сколько независимых измерений n нужно сделать, чтобы погрешность попала в доверительный симметричный интервал Гц с доверительной вероятностью Р = 0,955, считая закон распределения погрешностей нормальным [6]?

Решение. Вероятность того, что при одном измерении погрешность попадет в доверительный интервал, равна

где Гц.

Вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1-Р) = (1-0,159) = 0,841.

При n независимых измерениях вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1-Р)ⁿ = 0,841ⁿ.

С другой стороны, эта вероятность должна быть не более 1-0,955 = 0,045.

Следовательно, . Отсюда

Таким образом, число измерений , так как число измерений n может быть только целым числом.

4.2.17. Погрешности результатов измерений, произведенных с помощью амперметра, распределены по нормальному закону с мА; систематическая погрешность отсутствует. Сколько n независимых измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила мА с вероятностью Р = 0,95?

Ответ: .

4.2.18. Погрешность результата измерения тока распределена по нормальному закону. Значения случайных погрешностей мА, мА, среднее квадратическое отклонение мА. Определите вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала q для двух случаев:

1. систематическая погрешность ;

2. систематическая погрешность мА.

Решение. Определим границу доверительного интервала: при отсутствии систематической погрешности мА; при наличии систематической погрешности мА, мА.

Найдем вероятность нахождения случайной погрешности в границах доверительного интервала:

1. при отсутствии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.13)

;

2. при наличии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.12)

Следовательно, вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала:

1. q = 1 - 0,988 = 0,012; 2. q = 1 - 0,894 = 0,106.

4.2.19. Погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону, причем средняя квадратическая погрешность Ом. Найдите вероятность того, что результат измерения сопротивления отличается от истинного значения сопротивления не более чем на 0,07 Ом, если:

1. систематическая погрешность ;

2. систематическая погрешность Ом.

Ответ: Р₁ = 0,92; Р₂ = 0,882.

4.2.20. Погрешность результата измерения напряжения распределена по нормальному закону со средней квадратической погрешностью мВ. Доверительные границы погрешности мВ. Определите вероятность того, что погрешность не выйдет за границы доверительного интервала для двух случаев:

1. систематическая погрешность отсутствует;

2. систематическая погрешность мВ.

Ответ: 1. Р = 0,988; 2. Р = 0,894.

4.2.21. Для известного числа измерений величины Х получены соответственно значения среднего арифметического и средняя квадратическая погрешность (СКП) . Определите вероятность Р того, что случайная погрешность отдельного измерения Х_i не выходит за пределы доверительного интервала , т.е. имеет место неравенство при нормальном законе распределения погрешностей.

Ответ: Р = 0,31.

4.2.22. Запишите закон распределения погрешностей, получаемый при суммировании пяти независимых составляющих с параметрами: математическое ожидание М₁ = 1 В, М₂ = -2 В, М₃ = 3 В, М₄ = -1 В, М₅ = -2 В; средние квадратические погрешности (СКП) В, В, В, В, В.

Ответ: , 1/В.

4.2.23. Запишите закон распределения погрешностей, если СКП распределения В, математическое ожидание М = 2 В. Известно, что большие и малые погрешности встречаются одинаково часто.

Ответ:

4.2.24. Для заданного закона распределения определите математическое ожидание и дисперсию :

Ответ: В; В².

4.2.25. Решите задачу, аналогичную 4.2.24, если:

, 1/В

Ответ: В; В².

4.2.26. Частота сигнала измерялась 16 раз, среднее арифметическое значение параметра, вычисленного по ряду наблюдений кГц, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического составило кГц. Определите доверительную вероятность по нормальному закону и распределению Стьюдента, если границы доверительного интервала в процентном отношении от среднего арифметического установлены .

Решение. Переведем значения границ доверительного интервала в абсолютные значения кГц или кГц. Доверительная вероятность при нормальном законе распределения определится по формуле (4.13) и таблице I приложения с учетом:

кГц

Доверительная вероятность при распределении Стьюдента определяется из найденного значения коэффициента Стьюдента , числа измерений n = 16 и таблицы III приложения, используя принцип линейной интерполяции между соседними значениями:

4.2.27. Решите задачу, аналогичную 4.2.26, если границы доверительного интервала , .

Ответ: .

4.2.28. Для n = 16 измерений среднее арифметическое значение измеренного напряжения , а оценка среднего квадратического отклонения В. Определите доверительную вероятность , если отличается от истинного значения на величину доверительного интервала и имеет место неравенство ( ) В.

Ответ: .

4.2.29. Шестикратное (n = 6) измерение сопротивления дало следующие результаты R_i, Ом: 723,61; 723,57; 723,52; 723,46; 723,44; 723,40. Определите среднее арифметическое значение измеренного сопротивления и доверительный интервал случайной погрешности при доверительной вероятности . Запишите результат измерения (формулы 4.8, 4.9, 4.10, 4.14).

Ответ: Ом; .

4.2.30. Получено пять результатов измерения напряжения: 180; 182; 183; 184; 196, В. Считая, что результаты измерений распределены нормально, проанализируйте ряд на наличие промаха при уровне значимости (см. п. 4.16, формула 4.14).

Ответ: ряд содержит промах.

4.2.31. Решите задачу, аналогичную 4.2.30, для следующих результатов измерения напряжения: 178; 180; 184; 186; 197, В.

Ответ: промахов нет.

4.2.32. При измерении силы тока были получены следующие результаты: 20,42; 20,43; 20,40; 20,43; 20,42; 20,43; 20,39; 20,30; 20,40; 20,43; 20,42; 20,41; 20,39; 20,40, мА. Определите, не содержит ли результат 8-го измерения мА грубой погрешности при доверительной вероятности Р = 0,95?

Ответ: содержит.

4.2.33. Проверьте гипотезу о нормальном распределении случайных погрешностей по результатам n = 16 независимых наблюдений тока используя составной критерий (см. п. 4.17, формулы 4.15, 4.16, 4.17). Уровень значимости . Результаты наблюдений приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
I, мА	55	51	74	47	49	53	47	63	52	40	51	65	45	48	55	53

Ответ: гипотеза о нормальном распределении принимается с уровнем значимости .

4.2.34. Проверьте гипотезу о нормальности распределения случайных погрешностей по результатам 19-ти независимых наблюдений напряжения. Результаты наблюдений приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U_i, мВ	18,305	18,308	18,311	18,309	18,304	18,306	18,310	18,303	18,308	18,306
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19
U_i, мВ	18,312	18,305	18,307	18,308	18,309	18,308	18,307	18,309	18,3010

Ответ: гипотеза о нормальном распределении принимается с уровнем значимости .

4.2.35. Для n = 16 измерений напряжения получено его среднее арифметическое значение В и оценка средней квадратической погрешности В. Измерения производились вольтметром, имеющим неисключенную систематическую погрешность В с доверительной вероятностью . Запишите результат измерения с учетом суммарной погрешности (см. п. 4.1.9, формулы 4.18, 4.19).

Ответ: В; .

4.2.36. Решите задачу 4.2.35 при условии, что В [5].

Ответ: В; .

4.2.38. Решите задачу 4.2.35 при условии что n = 16, В, В, В, .

Ответ: В; .

4.2.39. Для определения статистических параметров электронной схемы произведены следующие измерения напряжения с помощью цифрового вольтметра В7-16А, имеющего максимальное значение погрешности при измерениях мВ. Результаты наблюдений сведены в табл. 4.3. Значения уровней значимости: ; ; . Произведите полную статистическую обработку экспериментальных данных при доверительной вероятности (см. п. 4.15).