2. Определение показателей центра распределения.

Традиционно при выборе центра распределения вариацион­ного ряда распределения предпочтение отдают средней арифме­тической.

Однако мы знаем, что довольно просто определяется и мода, особенно для дискретных рядов распределения. Поэтому в одно­родных совокупностях, имеющих повторы значений изучаемого признака, уместнее использовать в качестве средней моду, она от­ражает наиболее распространенный, типичный вариант признака.

Например, любой продавец обуви знает, какой размер самый «ходовой» (который чаще всего спрашивают), и это влияет на заказ новой партии обуви. Здесь, как видим, не нужны довольно сложные расчеты по определению арифметической средней.

Обычно встречаются ряды с одним значением моды, но встре­чаются и бимодальные ряды, в которых две моды, а также мульти­модальные ряды (несколько мод). Это говорит о неоднородности совокупности, представляющей собой агрегат нескольких совокуп­ностей с разными модами. В этом случае использовать моду в каче­стве центра распределения совокупности не удается.

Для рядов, в которых каждое значение признака встречается всего один раз (нет повторений значений признаков), мода не опре­деляется (ее нет).

Для получения обобщающей характеристики неоднородной со­вокупности при выборе показателя центра распределения предпоч­тение отдают медиане. Медиана не зависит от значений признака на краях ранжированного ряда и в неоднородных совокупностях будет являться более надежной характеристикой типичности при­знака. Медиана находит все более широкое применение в марке­тинговых и других экономико-статистических исследованиях.

В симметричных рядах все названные показатели равны между собой:

.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим небольшой пример.

Оценки	Число студентов (частота)	Накопленные частоты
3 4	6	6 16
5	6
Итого	22

3. Мода и медиана в статистике. (Расчет структурных средних).

Структурные средние (непараметрические средние) характе­ризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном ряду.

Наиболее известные из них — мода и медиана.

Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака.

Медиана (Ме) — значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда.

Для дискретного ряда распределения мода и медиана находятся довольно легко с помощью таблицы.

Моде соответствует максимальная частота.

Медианой следует считать значение признака в той группе, в которой накопленная частота превышает половину численности совокупности.

Для интервального ряда распределения с целью определения моды и медианы сначала находят модальный и медиальный интер­валы — по тем же правилам, по которым находят моду и медиану для дискретного ряда распределения. Затем в модальном и медиан­ном интервалах определяют точечные значения моды и медианы.

Мода для интервального ряда распределения с равными интер­валами определяется по формуле

где х0 — нижняя граница модального интервала; — верхняя граница модального интервала; — частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; — частота интервала, следующего за модальным.

Приведем вывод формулы расчета медианы для интервального ряда распределения . Сделаем это также с помощью гисто­граммы, построенной по условным данным несквозной задачи.

D C

B

A

0 Me

Условная гистограмма распределения для поясне­ния выводов показателя медианы для интервального ряда распределения

Исходя из определения медианы площадь ОАСМе равна:

Площадь ОАВ равна:

Таким образом, площадь прямоугольника x₀DCMe— это раз­ность площадей ОАСМе и ОАВх₀.

Следовательно, длина отрезка х₀Ме равна:

Сквозная задача.

Задание 23. На основании данных интервального ряда распреде­ления фирм по среднесписочной численности менеджеров (табл. 4.2) рассчитать медиану и сделать вывод.

Решение.

Построим вспомогательную таблицу

Численность менеджеров, чел., xj	Число фирм, ед., fj	Накопленные частоты
20-25 25-30 30-35	2 4 7	2<10 6<10 13<10
35-40 40-45 45-50	4 2 1
ИТОГО	20

Определяем медианный интервал.

Медианный интервал: 30-35, так как накопленная частота именно в этом интервале впервые превысила величину, равную по­ловине объема ряда распределения .

Определяем для медианного интервала ряда распределения то­чечное значение медианы:

Таким образом, половина фирм имеет численность менеджеров меньше 33 человек, а другая — больше 33 человек.

Выводы

В результате наблюдения и сводки статистических материалов по­лучают цифровые показатели, характеризующие или изменение явле­ний в динамике, или распределение единиц совокупностей по тем или иным варьирующим (изменяющимся) признакам в статике.

В первом случае образуются статистические ряды динамики.

Во втором случае образуются ряды распределения, анализ ко­торых ставит целью выявить характер и закономерности распреде­ления.

Следовательно, рядом распределения называется ряд, характеризу­ющий распределение единиц совокупности по какому-либо одному признаку, разновидности которого расположены в определенном по­рядке.

В зависимости от признака, положенного в основу ряда, различа­ют атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам (не имеющим числового выражения).

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называют вариационными. Вариационный ряд — это упорядоченный ряд количественного признака и численности единиц, имеющих данное значение признака.

Дискретный ряд изображается с помощью полигона распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абс­цисс отмечают точки, соответствующие величине вариант, из них вос­станавливаются перпендикуляры, длина которых соответствует часто­те (частости) этих вариант по принятому масштабу на оси ординат. Вершины перпендикуляров в последовательном порядке соединяются отрезками прямых. Для замыкания полигона крайние вершины соеди­няются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно значение в при­нятом масштабе х_max и х_min.

Для графического изображения интервальных вариационных ря­дов применяется гистограмма. При ее построении на оси абсцисс от­кладываются величины интервалов, а частоты изображаются высотой прямоугольников, построенных на соответствующих интервалах. Вы­сота столбиков должна быть пропорциональна частотам.

Если середины верхних сторон прямоугольников соединить пря­мыми, то гистограмма может быть преобразована в полигон распределения.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются показатели центра распределения. К ним относится: средняя арифметическая, мода и медиана.

Средняя арифметическая в вариационных рядах рассчитывается по формуле:

,

где х – в дискретном ряду распределения – признак, в интервальном – середина каждого интервала;

f – частота повторения данного признака.

Мода и медиана характеризуют структуру рядов распределения, поэтому называются структурными средними. Они являются показателями центра распределения. В отличие от средней арифметической, рассчитываемой по всем вариантам, мода и медиана характеризуют величину признака, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

В дискретном ряду мода – это признак с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду сразу можно указать только интервал, в котором будет находиться мода (ему соответствует наибольшая частота).

Медиана – это признак, который находится в середине вариационного ряда, т.е. делит ряд пополам.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое ряд распределения?

2. Каков порядок построения ряда распределения?

3. Что является показателями центра распределения?

4. Как исчисляется мода в дискретном и интервальном рядах распределения?

5. Как определяется медиана в дискретном и интервальном рядах распределения?

Рекомендованные источники литературы

1. С.19-21, 73-83

2. С. 21-24, 42-45

3. С. 47-48

4. С. 109-114

Лекция №8

(2 часа)

План:

1. Основные показатели оценки колеблемости признаков в рядах распределения: общее понятие.

2. Способы расчета показателей вариации.

3. Виды дисперсий, правила их сложения.

Вопросы самостоятельной работы обучающихся

1. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей социально-экономических явлений.

1. Основные показатели оценки колеблемости признаков в рядах распределения: общее понятие.

Оценив средний уровень ряда распределения, для более полной характеристики изучаемого признака рассчитывают показатели ва­риации (колеблемости). На этом этапе статистического анализа ис­следователь ставит перед собой задачу: определить, насколько близко единицы совокупности сгруппированы вокруг средней. По­казатели вариации позволяют сделать вывод об однородности сово­купности, а также о надежности, типичности средней.

В экономике изучаются вариации объемов спроса и предложе­ния, доходов населения, курсов акций, процентных ставок на кре­дит и т.д.

К основным показателям вариации относятся:

1. Размах вариации.

2. Среднее линейное отклонение.

3. Среднее квадратическое отклонение.

4. Дисперсия.

5. Коэффициент вариации.

Размах вариации (R) (амплитуда колебаний) показывает, на­сколько велико различие между единицами совокупности, находя­щимися на концах ранжированного ряда.

Размах вариации определяется как разность между максималь­ным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупно­сти. Размах вариации — это абсолютное отклонение, сохраняет размерность изучаемого признака.

Однако крайние значения признака могут быть аномальными для данной совокупности, обусловленными какими-то невероятными обстоятельствами. Тогда размах вариации будет служить характе­ристикой только этих двух аномальных единиц совокупности. В этом случае с целью дальнейшего изучения вариации единиц со­вокупности аномальные единицы следует убрать из совокупности. Но не для того, чтобы забыть о них, а для того, чтобы изучать их отдельно. Аномальные значения могут отражать необычные, яркие явления, которые могут представлять интерес для исследователя как раз своей нетипичностью.

Далее для получения средних характеристик вариации рассчи­тывают средние отклонения вариантов признака (х_i) от средней ве­личины признака ( )среднее линейное и среднее квадратическое отклонения.

Среднее линейное отклонение (d) - средний модуль отклоне­ния вариантов признака от средней арифметической величины при­знака. Сохраняет размерность изучаемого признака.

Для расчета d используется формула средней арифметической простой:

для несгруппированных данных;

и взвешенной:

для вариационного ряда распределения.

Среднее квадратическое отклонение (а) — корень из среднего квадрата отклонений вариантов признака от средней арифметиче­ской величины признака. Сохраняет размерность изучаемого при­знака.

Для расчета о используется формула средней квадратической простой:

для несгруппированных данных;

и взвешенной:

для вариационного ряда распределения.

По свойствам мажорантности средних величин (см. формулу 4.34) среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линей­ного отклонения.

Дисперсия (σ²) — средний квадрат отклонений вариантов при­знака от средней арифметической величины признака.

Размерность для дисперсии не указывается, так как дисперсия — промежуточный показатель, рассчитываемый для определения среднего квадратического отклонения (σ). Дисперсию используют также и как самостоятельный показатель вариации, характеризую­щий меру вариации в очень однородных совокупностях.

для несгруппированных данных;

для вариационного ряда распределения.

Среднее квадратическое отклонение и дисперсия (о и о²) — наиболее часто применяемые показатели вариации, так как они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащей фун­даментом математической статистики.

Используя математические свойства дисперсии, расчетные формулы дисперсий можно привести к упрощенному виду.

Математические свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же вели­чину А не меняет величины дисперсии.

3. Уменьшение всех значений признака в к раз уменьшает дис­персию в к² раз, а среднее квадратическое отклонение — в к раз.

4. Средний квадрат отклонений от любой величины А всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической, на определенную величину — на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на ( - А)².

.

Отсюда

В случае, когда А приравнивается нулю, формула прини­мает вид:

или

Таким образом, дисперсия равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Коэффициент вариации (У_а) — относительный показатель ва­риации, который определяется как отношение среднего квадратиче­ского отклонения и арифметической средней изучаемого показателя.

Коэффициент вариации используется для оценки интенсивно­сти вариации. Как относительный показатель интенсивности, он имеет размерность; показывает, сколько единиц среднего квадрати­ческого отклонения приходится на единицу среднего значения изу­чаемого признака. Совокупность считается однородной, если коэф­фициент вариации не превышает 0,33. В этом случае средняя вели­чина исследуемого признака может считаться типичной, надежной характеристикой статистической совокупности.

Если же коэффициент вариации больше 0,33, то это означает, что вариация исследуемого признака велика. Найденная средняя плохо представляет всю статистическую совокупность и не может считаться ее типичной характеристикой. Статистическая совокуп­ность является неоднородной по рассматриваемому признаку.

Аналогично коэффициенту вариации рассчитывают другие от­носительные показатели вариации, которые в практике статистики применяются реже:

• показатель осцилляции: ;

• линейный коэффициент .