2. Примеры решения типовых задач

Пример 1.

Имеются следующие данные о цене на нефть х (усл.ед) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед).

Таблица 3

хi	17,3	17,0	18,3	18,8	19,2	18,5
yi	537	534	550	555	560	552

Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу y=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 4

n	xi	yi	xi2	xiyi
1	17,3	537	299,29	9290,1
2	17,0	534	289,00	9078,0
3	18,3	550	334,89	10065,0
4	18,8	555	353,44	10434,0
5	19,2	560	368,64	10752,0
6	18,5	552	342,25	10212,0
∑	109,1	3288	1987,51	59831,1

Составим систему уравнений :

1987,51ɑ + 109,1 b = 59 831,1

109,1 ɑ + 6 b = 3288

Откуда ɑ=11,946, b=330,78, т.е

y = 11,94 x + 330,78.

Пример 2.

Найти квадратичную зависимость для следующих данных. Предприятие, производящее сельскохозяйственную технику, провело опрос дилеров и получила следующие сведения о спросе Q на свою продукцию в зависимости от цены P:

Таблица 5

P = х, млн. руб	1,7	1,9	2,0	2,1
Q = y, тыс. штук	27	25	19	9

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 6

п	xi	yi	xi2	xi3	xi4	xi yi	xi2 yi
1	1,7	27	2,89	4,913	8,3521	45,9	78,03
2	1,9	25	3,61	6,859	13,0321	47,5	90,25
3	2,0	19	4,00	8,000	16,0000	38,0	76,00
4	2,1	9	4,41	9,261	19,4481	18,9	39,69
∑	7,7	80	14,91	29,033	56,8323	150,3	283,97

Система линейных уравнений для определения величин ɑ, b, с примет вид

5 6,8323ɑ + 29,0330 b + 14,9100с = 283,97,

29,0330 ɑ + 14,9100 b + 7,7000с = 150,30,

14,9100 ɑ + 7,7000 b + 4 с = 80,00.

Решив систему, получим значения ɑ, b, с. Функция спроса будет иметь вид Q = 0,02 Р² - 16.64 Р - 6,67.

Пример 3.

Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х (тыс.км) и у – расходе масла (л/тыс.км):

Таблица 7

хi	50	70	90	110	130
yi	0,2	0,5	0,8	1,1	1,3

Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу у=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 8

n	xi	yi	xi2	xiyi
1	50	0,2	2500	10
2	70	0,5	4900	35
3	90	0,8	8100	72
4	110	1,1	12100	121
5	130	1,3	16900	169
∑	450	3,9	44500	407

Система нормальных уравнений имеет вид:

44500ɑ + 450b = 407

450ɑ + 5b = 3,9

Ее решения ɑ=0,014, b = -0,48. Таким образом, линейная зависимость имеет вид: y= 0,014x – 0,48

Пример 4.

Имеются следующие данные о расходах на рекламу x ( тыс. усл.ед.) и сбыте продукции (тыс. ед.):

Таблица 9

хi	1	2	3	4	5
yi	1,6	4,0	7,4	12,0	18,0

Предполагая, что между переменными x и y существует квадратичная зависимость вида y = ɑx² + bx + c, найти значения параметров ɑ, b, c методом наименьших квадратов.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 10

n	xi	yi	xi2	xi3	xi4	xiyi	xi2 yi
1 2 3 4 5	1 2 3 4 5	1,6 4,0 7,4 12,0 18,0	1 4 9 16 25	1 8 27 64 125	1 16 81 256 625	1,6 8,0 22,2 48,0 90,0	1,6 16,0 66,6 196,0 450,0
∑	15	43,0	55	225	979	169,8	680,2

Система нормальных уравнений имеет вид:

9 79ɑ + 225b + 55с = 680,2,

225 ɑ + 55b + 15 с = 169,8,

55 ɑ + 15 b + 5 с = 49,0.

Её решения ɑ=0,3, b=0,48, c=5,06.

Искомая зависимость имеет вид: y= 0,3x² + 0,48x +5,06.

Пример 5.

Имеется шесть измерений пары переменных (х,у) результаты которых приведены в таблице 11:

Таблица 11

xi	1	2	3	4
yi	0,2	0,3	1,0	1,2

Методом наименьших квадратов построить линейную зависимость у=ɑх + b. Сравнить полученную зависимость с зависимостью у= .

Решение.

Аналогично примерам 1,3 найдем уравнение линейной регрессии:

у= 0,37х – 0,25.

Сравним величины U = для найденной линейной зависимости и зависимости у= . Промежуточные вычисления представим в таблице:

Таблица 12

n	xi	yi		0,37хi– 0,25	( - yi)2	(0,37xi – 0,25 – уi)2
1 2 3 4	1 2 3 4	0,2 0,3 1,0 1,2	0,125 0,5 1,125 2	0,12 0,49 0,76 1,23	0,005625 0,040000 0,015625 0,640000	0,0064 0,0361 0,0576 0,0009
∑	-	-	-	-	0,701250	0,1010

Как видно U_лин< U_кв, следовательно, линейная зависимость предпочтительнее.