4.3 Задания для работы в аудитории

I. Имеются следующие данные о величинах x и y. Предполагая, что между

x и y существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу

у=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Задача 1.

х – цена на товар (усл.ед.); у – уровень продаж (тыс.ед.):

Таблица 13

xi	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0
yi	200	160	120	90	80

Задача 2.

х – уровень потребления электроэнергии на предприятии (млн.кВт ^. ч); у – себестоимость единицы продукции:

Таблица 14

xi	30	40	50	60	70
yi	18	20	21	24	25

II. По экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов линейную зависимость у=ɑх + b. Сравнить полученную зависимость с альтернативной и определить, какая из них лучше соответствует экспериментальным данным.

Задача 3.

Таблица 15

xi	2	2,5	3	3,5	4
yi	4,2	5,5	6,9	8	9,5

Альтернативная зависимость y=2x + 0,1x².

Задача 4.

Таблица 16

xi	1	2	3	4	5
yi	1,0	1,4	1,7	2,0	2,2

Альтернативная зависимость y=

Задача 5.

Таблица 17

xi	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
yi	0,50	0,30	0,25	0,18	0,12

Альтернативная зависимость y=2^-х

4.4 Подбор эмпирических формул по выборочным данным

Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам приведена ниже. Год: x_i, прибыль (млн. руб): y_i.

Таблица 18

xi	yi
1	5
2	4
4	3,5

Требуется подобрать тип зависимости, используя метод наименьших квадратов, исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений. Сделать чертеж одной из наиболее подходящих зависимостей, нанести на график исходные данные.

1.Линейная зависимость: у=ax+b.

Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ и b зависимости: у = ɑx + b

_i= y_расч - y_{i. .}

Таблица 19

i	xi	yi	xi2	xiyi	yiрасч	i	i2
1	1	5	1	5	4,79	0,21	0,0441
2	2	4	4	8	4,33	-0,33	0,1089
3	4	3,5	16	14	3,41	0,09	0,0081
	7	12,5	21	27			0,1611

ɑ  -0,46; b  5,25

y = - 0,46х + 5,25.

Вычисляем y_iрасч :

x₁= 1; y_1расч=-0,461+5,25=4,79

x₁= 2; y_{2 расч} =-0,462+5,25=4,33

x₁= 4; y_{3 расч} =-0,464+5,25=3,41.

2. Квадратичная зависимость: y = ax² + bx + с.

Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ, b и c данной зависимости:

,

, _i= y_расч - y_i .

,

Таблица 20

i	xi	yi	xi yi	xi2	xi2 yi	xi3	xi4	yiрасч	i	i2
1	1	5	5	1	5	1	1	5	0	0
2	2	4	8	4	16	8	16	4	0	0
3	4	3,5	14	16	56	64	256	3,5	0	0
	7	12,5	27	21	77	73	273			0

ɑ = 0,25; b = -1,75; c = 6,5

y = 0,25x² - 0,75x + 6,5

Вычисляем y_iрасч:

x₁=1; y_1расч =0,25 1² – 1,75 1 + 6,5 =5

x₂=2; y_2расч =0,25 2² - 1,75 2 + 6,5 =4

x₃=4; y_3расч =0,25 4² - 1,75 4 + 6,5 =3,5.

3. Дробно-линейная зависимость: y = ɑ + .

Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ и b данной зависимости:

_i= y_расч - y_i .

Таблица 21

i	xi	yi	xi2	1/xi	1/xi2	yi /xi	yiрасч	i	i2
1	1	5	1	1	1	5	5	0	0
2	2	4	4	0,5	0,25	2	4	0	0
3	4	3,5	16	0,25	0,0625	0,875	3,5	0	0
	7	12,5	21	1,75	1,3125	7,875			0

a=3; b=2

y=3 + .

Вычисляем y_iрасч:

x₁=1; y_1расч =3 + = 5

x₂=2; y_2расч =3 + = 4

x₃=4; y_3расч =3 + =3,5

4. Показательная зависимость: y = ɑ  b^x

Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ и b данной зависимости:

_i= y_расч - y_{i .}

Таблица 22

i	xi	yi	xi2	lnyi	xi lnyi	yiрасч	i	i2
1	1	5	1	1,61	1,61	4,86	0,14	0,0196
2	2	4	4	1,39	2,78	4,37	-0,37	0,1369
3	4	3,5	16	1,25	5	3,54	-0,04	0,0016
	7	12,5	21	4,25	9,39			0,1581

lnb=-0,11; b=e^-0,110,9; lna=1,68; a=e^1,685,4

y = 5,40,9^x

Вычисляем y_iрасч:

x₁=1; y_1расч =5,4 0,9¹4,86

x₂=2; y_2расч = 5,4 0,9²4,37

x₃=4; y_3расч =5,4 0,9⁴3,54

Суммы квадратов отклонений расчетных данных от теоретических данных для найденных зависимостей записаны в табл.23.

Таблица 23

i	Зависимость	i2
1	y=-0,46х+5,25	0,1611
2	y=0,25x2-0,75x+6,5	0
3	y=3 +	0
4	y=5,40,9x	0,1581

ВЫВОД: Наилучшим образом подходит дробно-линейная зависимость (y=3 + ) и квадратичная зависимость (y=0,25x²-0,75x+6,5).

Сделаем чертеж одной из наиболее подходящих зависимостей, нанесем на график исходные данные.