Обчислення передавальної функції багатоконтурної системи

Для обчислення передавальної функції багатоконтурної системи необхідно перестановкою та переносом вузлів і суматорів позбавитися зв’язків, що перехрещуються. Потім перетворити її на одноконтурну систему, використовуючи правила перетворення структурних схем, та обчислити передавальну функцію за відомими правилами для одноконтурної системи.

Приклад 2.7 Використовуючи правила перетворення структурних схем визначити передавальну функцію W_з замкнутої системи, структурна схема якої наведена на рис. 2.33.

Ланки W₂ і W₃ з'єднані паралельно, тому їх еквівалентна передавальна функція дорівнює сумі, тобто W_2,3 = W₂+W₃ . Ця ланка послідовно з'єднана з W₁ тоді

W _1-3 = W₁(W₂+W₃).

Щоб позбавитися зв'язків, що перехрещуються, перенесемо вузол 2 через ланку W₆ вперед. При цьому в ланцюг головного зворотного зв'язку необхідно ввести ланку з передавальною функцією 1/W₆. (рис. 2.34 а).

Ланки W₅ і W₆ з'єднані послідовно, тому W_5,6=W₅W₆. Ця ланка охоплена від'ємним зворотним зв'язком W₇. Тому еквівалентна передавальна функція має вигляд:

W_5-7=W₅W₆/[1+W₅W₆W₇].

Отримали структурну схему одноконтурної системи (рис.2.34 б), передавальна функція якої може бути визначена за формулою (2.48):

W_з= [W_1-3 W_5-7]/[1+ W_1-3 W_5-7W₈/W₆]

2.7 Частотні характеристики системи

При дослідженні та проектуванні САК звичайно використовують АФЧХ, ЛАЧХ та ЛФЧХ розімкнутої системи.

Передавальні функції розімкнутих САК можна перетворити до вигляду:

(2.54)

де W_i(s) - передавальні функції елементарних ланок.

Тоді модулі та аргументи частотних передавальних функцій системи і ланок відповідно до правила модулів та аргументів комплексних чисел зв’язані між собою співвідношеннями:

(2.55)

(2.56)

За цими співвідношеннями можна побудувати АФЧХ розімкнутої САК: розрахувати АЧХ і ФЧХ окремих ланок за відомими формулами, АЧХ системи обчислити як добуток АЧХ ланок, а ФЧХ системи обчислити як суму ФЧХ окремих ланок.

Із (2.55) випливає, що

(2.57)

де L() = 20lgA(), L_i() = 20lgA_i() - логарифмічні амплітудні частотні функції системи та окремих ланок.

Звідси випливає правило побудови асимптотичної ЛАЧХ розімкнутої САК:

обчислити частоти спряження _і = 1/Т_і , де - сталі часу окремих ланок; обчислені частоти спряження _i відмітити вертикальними пунктирними лініями;

обчислити коефіцієнт підсилення розімкнутої САК у дБ: 20lg k, де k - коефіцієнт підсилення системи; відкласти величину 20lg k на частоті  =1c^-1;

через точку з координатами (=1c^-1; L=20lgk) провести першу асимптоту з нахилом -20 дБ/дек ( - ступінь астатизму САК, що визначається як різниця між числом інтегруючих та диференціальних ланок); її проводять до першої частоти спряження ₁;

побудувати другу асимптоту від кінця першої асимптоти до частоти спряження , причому її нахил змінюється на +20; -20; +40; -40 дБ/дек залежно від того, є ₁ частотою спряження форсуючої, аперіодичної, форсуючої другого порядку чи коливальної ланки відповідно;

кожну подальшу асимптоту побудувати аналогічно другій.

Якщо будь-яка частота спряження є кратною, а її кратність дорівнює q, тобто є q однакових елементарних ланок, то зміна нахилу на цій частоті в q разів більше, ніж на відповідній простій частоті.

Приклад 2.8 Побудувати ЛАЧХ розімкнутої САК, передавальна функція якої має вигляд:

,

k=100; T₁=10c (аперіодична ланка); T₂=1c (форсуюча ланка); (коливальна ланка).

Обчислюємо 20lg k = 20lg100=40 дБ і відмічаємо цю точку на частоті =1с^-1.

Оскільки в знаменнику s в першому ступені, тобто є одна інтегруюча ланка, то система астатична першого ступеня і перша асимптота має нахил -20 дБ/дек (-1).

У першій частоті спряження ₁=1/Т₁ = 0,1 с^-1 нахил змінюється на -20 дБ/дек і стає рівним -40 дБ/дек (-2). У другій частоті спряження ₂=1/Т₂ = 1 с^-1 нахил змінюється на +20 дБ/дек і стає рівним -20 дБ/дек (-1). У третій частоті спряження ₃=1/Т₃ = 10 с^-1 нахил ЛАЧХ змінюється на -40 дБ/дек і стає рівним -60 дБ/дек (-3).

Асимптотична ЛАЧХ розімкнутої САК наведена на рис.2.35.

Приклад 2.9 Побудувати логарифмічні частотні характеристики ЛАЧХ і ЛФЧХ розімкнутої системи, передавальна функція якої визначена в прикладі 2.6:

W_р(s)=k/[(Т₁s+1)(Т₂s+1)(T₃s+1)s].

Значення коефіцієнта k і сталих часу Т_і: k=100 с^-1; Т₁= 0,003с; Т₂=0,02с; Т₃=0,833с. Задачу розв'язати за допомогою пакета програм MATLAB.

Для розв'язування задачі необхідно виконати моделювання розімкнутої системи, яка містить чотири динамічні ланки, з'єднаних послідовно: одну інтегруючу і три аперіодичні (коефіцієнт підсилення k можна віднести до будь-якої ланки, прийнявши для всіх інших коефіцієнт рівним одиниці). Схема моделі, що отримана за допомогою пакета MATLAB/Simulink, наведена на рис. 2.36.

Рис. 2.36 - Робоче вікно Simulink зі схемою моделі системи

Розрахунок і побудову частотних характеристик виконаємо за допомогою функції Tools робочого вікна Simulink.

На рис. 2.37 наведені логарифмічні частотні характеристики розімкнутої системи, побудовані за допомогою пакета МАТLAB: ЛАЧХ (верхня) і ЛФЧХ (нижня).

Слід мати на увазі, що побудована ЛАЧХ є точною, а не асимптотичною. Асимптотичну ЛАЧХ легко побудувати за наведеним вище правилом (приклад 2.8). Логарифмічну фазову частотну характеристику також можна розрахувати без допомоги MATLAB за формулою (2.56):

() = -90- arctg(T₁)- arctg(T₂)- arctg(T₃) =

= -90- arctg(0.003)- arctg(0.02)- arctg(0.833).

Рис. 2.37 - Логарифмічні частотні характеристики системи

Питання для самоперевірки:

1. Що таке математична модель системи?

2. Що таке рівняння динаміки, рівняння статики?

3. Що таке статична характеристика? Наведіть основні статичні характеристики.

4. Що таке лінеаризація? Якими методами вона виконується?

5. Запишіть перетворення Лапласа. У чому його сутність?

6. Запишіть основні властивості перетворення Лапласа.

7. Для чого використовується теорема розкладу?

8. Які форми запису диференціальних рівнянь використовують у ТАК?

9. Що таке передавальна функція за Лапласом?

10. Що таке характеристичне рівняння системи?

11. Як пов’язані між собою передавальна та перехідна функції?

12. Запишіть перетворення Фур’є. У чому його сутність?

13. Що таке комплексна передавальна функція?

14. Які частотні функції вам відомі? Поясніть їх фізичний зміст.

15. Як будується АФЧХ системи за відомою передавальною функцією?

16. Що таке логарифмічні частотні характеристики? У якій системі координат вони будуються?

17. Які форми математичної моделі САК ви знаєте?

18. Що таке типова динамічна ланка?

19. Яка ланка називається пропорційною, інтегруючою, диференціальною, аперіодичною?

20. Запишіть передавальні функції пропорційної, інтегруючої, аперіодичної, диференціальної ланки. Побудуйте їх часові та частотні характеристики.

21. Наведіть приклади елементів САК, які описуються переліченими ланками.

22. Яка ланка називається коливальною, консервативною, форсуючою, ланкою запізнення?

23. Запишіть передавальні функції перелічених ланок. Побудуйте їх часові та частотні характеристики.

24. Наведіть приклади елементів САК, які описуються переліченими ланками.

25. Які ланки називаються немінімально-фазовими? Наведіть їх передавальні функції.

30. Що таке структурна схема? Як позначаються її основні елементи?

31. Як визначається передавальна функція послідовно з’єднаних ланок? Паралельно з’єднаних ланок? Як визначається передавальна функція ланки, охопленої зворотним зв’язком?

32. Як обчислюється передавальна функція замкнутої одноконтурної системи?

33. Як обчислюється передавальна функція багатоконтурної системи?

34. Як будується асимптотична ЛАЧХ системи при послідовному з’єднанні ланок?

78