2.5 Типові динамічні ланки та їх характеристики

Поняття динамічної ланки

Реальні САК - це дуже складні системи, до складу яких входять різноманітні елементи. Це робить задачу аналізу та синтезу САК дуже складною. Тому в курсі ТАК вводиться поняття динамічної ланки – математичної частини системи (незалежно від фізичної природи та конструкції), що описується рівнянням певного типу. Це дозволяє звести багато різних реальних елементів САК до обмеженого числа типових ланок, а всі реальні САК розглядати як системи, що складаються із з’єднаних між собою типових ланок.

Рівняння реальних елементів систем керування складають на основі фізичних законів, які математично описуються рівняннями не вище другого ступеня. Тому типовою динамічною ланкою називають частину системи, яку можна описати диференціальним рівнянням не вище другого ступеня.

До такого визначення можна підійти й математично.

У передавальній функції (2.23) системи коефіцієнти a_j та b_j визначаються параметрами цієї системи, тому вони можуть бути тільки дійсними, а значить, співмножники чисельника та знаменника можна розкласти на лінійні та квадратичні множники:

k; ks; k/s; k/(as+b); k/(as² + bs + c); as + b; as² +bs + c.

Тому передавальну функцію W(s) можна записати як добуток простих множників і простих дробів.

Звідси можна дати ще одне визначення елементарної або типової динамічної ланки: типовою динамічною ланкою називається елемент системи, передавальна функція якого має вигляд простого множника чи простого дробу.

У курсі ТАК виділяють ланки: пропорційну, інтегруючу, диференціальну, аперіодичну, коливальну, консервативну, форсуючу першого та другого порядку, ланку запізнення та деякі інші ланки.

Пропорційна ланка

Пропорційною (підсилювальною, безінерційною) називається ланка, яка описується рівнянням:

y(t) = kx(t), (2.36)

де k - коефіцієнт пропорційності (підсилення).

Використовуючи властивості перетворення Лапласа, запишемо операційне рівняння: Y(s)=kX(s). Звідси передавальна функція ланки за Лапласом:

W(s) = Y(s)/X(s) = k.

КПФ та частотні функції ланки мають вигляд:

W(j) = k; U() =k; V() = 0; = k;

() = arctg V()/U() = 0.

На рис. 2.8 побудовані відповідні частотні характеристики.

Часові функції та відповідні характеристики (рис. 2.9) мають вигляд:

h(t) = k1(t); w(t) = h'(t) = k(t) = (t).

Для пропорційної ланки характерна відсутність накопичувачів енергії, і тому вона миттєво копіює вхідний сигнал, змінюючи його за величиною в k разів.

Прикладами елементів, які можуть бути описані пропорційною ланкою, є: редуктори, трансформатори, підсилювачі, датчики тощо.

Ідеальних підсилювальних елементів не існує, але таким можна вважати елемент, інерційність якого не відбивається на поведінці САК.

Диференціальна ланка

Диференціальною називається ланка, яка описується рівнянням

(2.37)

тобто вихідний сигнал пропорційний швидкості зміни вхідного сигналу.

Операційне рівняння та передавальна функція ланки:

Y(s) = ksX(s); W(s) = ks.

Частотні функції мають вигляд:

W(j) = kj; U() = 0; V() = k; A() = k; () = arctg (k/0) =

= arctg  = /2 (рис. 2.10).

Зсув фази не залежить від частоти і дорівнює /2. АФЧХ ланки співпадає з додатною уявною піввіссю.

Л огарифмічна амплітудна частотна характеристика ланки:

L () = 20lg A()=20lg k=20lg k+20lg ;

при  = 1с^-1 L() = 20 lg k (дБ);

при  = 10с^-1 L() = 20 lg k + 20 (дБ);

при  = 100с^-1 L() = 20 lg k + 40 (дБ);

тобто ЛАЧХ являє собою пряму, що проходить через точку з координатами (=1c^-1; L()=20lgk) та має ухил +20дБ/дек (плюс двадцять децибел на декаду). Це вказує на те, що логарифмічна амплітуда збільшується на 20 дБ за одну декаду (рис. 2.11).

Часові функції та характеристики диференціальної ланки (рис. 2.12):

h (t) = k1(t); w(t) = h'(t) = k(t) = (t).

До диференціальних ланок можна віднести елементи автоматичних систем, у яких вихідна координата в усталеному режимі пропорційна похідній вхідного впливу, що змінюється, і дорівнює нулю, якщо цей вплив є постійним. Прикладами таких елементів можуть бути спідометр, тахогенератор (якщо вхідна величина - кут повороту вала).

Реальні диференціальні ланки є інерційними і тому описуються передавальними функціями вигляду:

W(s) = ks/(Ts+1),

де T - стала часу, що враховує інерційні властивості реальної диференціальної ланки. Чим менше значення Т, тим ближче властивості реальної ланки до властивостей ідеальної диференціальної ланки.