2.6 Структурні схеми лінійних систем

Структурною схемою називається графічне зображення математичної моделі САК у вигляді з’єднання ланок. Структурна схема відображає динамічні властивості системи. Її задача - у найбільш наочній формі показати математичну сторону перетворення сигналів окремими елементами та всією системою в цілому.

Структурна схема може бути отримана із функціональної, якщо відомі передавальні функції (або диференціальні рівняння) та параметри елементів, що входять до складу системи.

Ланка на структурній схемі може відображати математичну модель елемента, групи елементів чи частини одного елемента.

Динамічну ланку зображують у вигляді прямокутника з наведенням вхідних і вихідних величин, а також передавальної функції всередині його. Причому вхідну та вихідну величини записують у вигляді зображень, якщо передавальні функції задають у формі зображень, чи у вигляді оригіналу, якщо передавальна функція задається в операторній формі (рис.2.24).

Правила перетворення структурних схем

При визначенні передавальної функції системи використовують ряд правил перетворення структурних схем. Розглянемо основні з них.

Послідовне з’єднання ланок. При послідовному з’єднанні вихідна величина кожної попередньої ланки є вхідною величиною подальшої ланки (рис. 2.25).

Рівняння ланок в операційній формі:

X₁ = W₁X₀; X₂ = W₂X₁; X₃ = W₃X₂.

Виключивши із цих рівнянь проміжні змінні X₁, X₂, отримаємо:

X ₃ = W₁W₂W₃ X₀.

Звідси

(2.46)

Передавальна функція системи послідовно з’єднаних ланок дорівнює добутку передавальних функцій усіх ланок, що входять до складу з’єднання.

Паралельне з’єднання ланок. При паралельному з’єднанні ланок на вхід усіх ланок подається один і той самий сигнал, а вихідні величини додаються (рис. 2.26).

Рівняння ланок мають вигляд:

X₁ = W₁X₀; X₂ = W₂X₀; X₃ = W₃X₀;

звідси отримуємо:

X = X₁+X₂+X₃ = X₀(W₁+W₂+W₃);

W = W₁+W₂+W₃ = . (2.47)

П ередавальна функція паралельно з’єднаних ланок дорівнює алгебраїчній сумі передавальних функцій усіх ланок, що входять до з’єднання.

Ланка, охоплена зворотним зв’язком. Якщо вихідний сигнал ланки через будь-яку іншу ланку подається на його вхід, то вважають, що ланка охоплена зворотним зв’язком. При цьому, якщо сигнал зворотного зв’язку x₁ віднімається від вхідного сигналу x₀, то зворотний зв’язок називається від’ємним. Якщо сигнали x₀ і x₁ додаються, то зворотний зв’язок - додатний.

Якщо зворотний зв’язок від’ємний, то

X = W_п ; X₁ = W_ззX;  = X₀ – X₁,

де W_п - передавальна функція прямого ланцюга;

W_з.з.- передавальна функція зворотного зв’язку (рис. 2.27 а).

Звідси отримаємо:

X = W_п(X₀–X₁) = W_п X_o - W_пW_ззX;

X (1+W_пW_зз) = W_п X_o.

отже, передавальна функція W_з замкнутого ланцюга дорівнює:

(2.48)

Передавальна функція ланки, охопленої від’ємним зворотним зв’язком, дорівнює дробу, в чисельнику якого записується передавальна функція прямого ланцюга (ланки, що охоплюється), а в знаменнику - сума одиниці та добутку передавальних функцій прямого ланцюга та ланки зворотного зв’язку.

Якщо зворотний зв’язок додатний, то аналогічно можна отримати:

(2.49)

Якщо передавальна функція зворотного зв’язку W_зз = 1, то зворотний зв’язок називається одиничним (рис. 2.27 б). Тоді формули (2.48) та (2.49) можна записати:

(2.50)

Існує ще ряд правил перетворення структурних схем, які дозволяють у багатоконтурних системах позбавитись зворотних зв’язків, що перехрещуються. Наприклад, перенесення суматора через ланку назад і вперед, перенесення вузла через ланку, перестановка вузлів і суматорів. Деякі з цих правил наведені в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

Основні правила перетворення структурних схем

Вид перетворення	Початкова схема	Еквівалентна схема
Перенесення суматора через ланку назад
Перенесення суматора через ланку вперед
Перенесення вузла через ланку назад

Продовження таблиці 2.2

Перенесення вузла через ланку вперед
Перенесення вузла через суматор назад
Перенесення вузла через суматор уперед