§2. Сходимость в метрическом пространстве

Введённое в предыдущем параграфе понятие метрики (расстояние) позволяет ввести для любого метрического пространства понятие ε - окресности.

Определение. ε - окресность некоторой точки в метрическом пространстве это множество точек этого пространства, удалённых от неё менее чем на ε: .

Пример. Для иллюстрации данного понятия рассмотрим в пространстве множества с центром в начале координат для каждой метрики из трёх рассмотренных выше.

Для метрики данный «шар» будет определяться неравенством: , для метрики – неравенством , а для – неравенством . Эти ε - окресности иллюстрируются следующим рисунком:

M(x,y)

Упражнение. Попробуйте нарисовать ε - окресности нуля в относительно каждой из трёх рассмотренных ранее метрик.

Теперь, опираясь на понятие ε - окресности, перейдём к определению предела последовательности.

Первое определение предела последовательности. Говорят, что последовательность в метрическом пространстве сходится к a, если за

пределами любой ε - окресности точки a находится только конечное число членов последовательности , при этом пишут

Например:

Второе определение предела последовательности: , т.е. .

Упражнение. Чем данные определения отличаются от приведённых в части «Пределы и ряды»?

Упражнение. Доказать эквивалентность определений.

Так как в метрическом пространстве у любых двух точек существуют непересекающиеся ε - окресности, предел у сходящейся последовательности единственный.

Действительно, возьмём в пространстве две точки x y , тогда ρ(x, y)>0. Очевидно, можно взять . В силу неравенства треугольника окрестности не пересекаются: если существует : и , то , что противоречит предположению.

Опираясь на данный факт, в точности также как и в одномерном случае, доказывается, что предел у сходящийся последовательности только один.

Пусть последовательность сходится, и к , и к . Если , то у них найдутся непересекающиеся ε - окресности. Так как , то за рамками может находиться только конечное множество элементов последовательности , значит, внутрь попадает тем более конечное множество членов последовательности. Т.е. не может быть пределом, т.к. иначе в попало бы бесконечное множество членов последовательности .

Упражнение. Чем данные рассуждения отличаются от одномерного случая?

Ещё одно эквивалентное определение предела: (по метрике) если

Упражнение. Доказать эквивалентность.

§3. Полнота, неполнота, пополнение (пространств)

Определение. Фундаментальной или последовательностью Коши называют такую последовательность , что . Чем дальше номера элементов последовательности, тем ближе они друг к другу.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нём любая последовательность Коши имеет предел.

Теорема. Любая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.

Доказательство.

Пусть . По определению предела последовательности, можно найти такой номер , что при всех выполняется неравенство , откуда ,

что и требовалось доказать.

Обратно не верно. Если последовательность фундаментальна, она не обязательно будет сходиться. Действительно, множество с расстоянием является метрическим пространством, при этом последовательность в нём, где является фундаментальной, но не является сходящейся в .

Упражнение. Убедиться.

В то же время множество с метрикой является полным пространством, то же можно сказать о множестве точек отрезка .

Упражнение. Объяснить, опираясь на результаты из последний параграф раздела «Последовательности и ряды».

Для пространства из сходимости по одной метрике следует сходимость по другой. В этом смысле все три метрики эквивалентны. Доказательство следует из того, что ε - окресность в смысле одной из метрик вкладывается в ε - окресность той же точки в смысле обеих других

метрик.

Доказательство.

Если , то , откуда для всех , т.е. . При этом , следовательно , при этом может быть сделано сколь угодно малым выбором соответствующего .

Если , то , откуда для всех , т.е. . При этом , при этом может быть сделано сколь угодно малым выбором соответствующего .

Если , то для всех , т.е. и . При этом и могут быть сделаны сколь угодно малыми выбором соответствующего .

Для расстояний в пространстве функций это уже не так.

Пример. Пространства . Шар с центром в нуле состоит из функций, для которых , а шар – из функций, у которых . Легко видно, что второй шар вкладывается в первый, но не наоборот, так как для любого и выполняется неравенство , но при этом .

Теорема. Пространство является полным относительно любой из трёх метрик.

Доказательство.

Проведём доказательство для первой метрики. Рассмотрим последовательность векторов из пространства . Обозначим через – -ю координату вектора . Если последовательность фундаментальна, то для достаточно больших выполняется неравенство

, т.е. , откуда для всех .

Таким образом, последовательность для каждой координаты является последовательностью Коши, поэтому у неё существует предел

Из определения предела числовой последовательности следует, что для любого и любого существует такое число , что при всех выполняется неравенство . Следовательно, для всех выполняется неравенство , откуда , где – вектор с координатами .

Таким образом, мы доказали, что пространство – полное относительно первой метрики.

Аналогично проводится доказательство для второй и третьей метрики.

Упражнение. Провести доказательство.

Для функциональных пространств доказанная выше теорема не всегда выполняется.

Теорема. Пространство является полным в смысле метрики .

Доказательство.

Пусть – фундаментальная последовательность функций, докажем, что она сходится. Из определения фундаментальной последовательности следует, что для : выполняется неравенство , т.е. для всех выполняется неравенство . При каждом фиксированном последовательность является фундаментальной, следовательно она сходится . Переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность сходится к равномерно на . Так как все функции являются непрерывными на , функция тоже должна быть непрерывной.

Теорема доказана.

В смысле метрик и пространство является неполным.

Теорема. Пространство не является полным относительно метрик и .

Доказательство проведём для метрики , для метрики доказательство аналогичное.

Построим в последовательность, которая является фундаментальной и не сходится к непрерывной функции (для произвольного промежутка рассуждения аналогичны. В качестве такой последовательности возьмём

f_n(t)

1

1

1/n

1/m

t

И з графика видно, что при , поэтому данная последовательность фундаментальна. Пусть она сходится к непрерывной функции . Докажем, что для . Пусть это не так. Фиксируем . Предположим, что . Тогда найдётся такая окрестность данной точки , что для неё будет выполнено неравенство . Пусть .

Тогда .

Это противоречит предположению, что , таким образом,

должно выполняться условие . Аналогично доказывается, что для .

1

-1

-1/n

1

1/n

-1

Такая функция не будет непрерывной, следовательно, пространство не является полным относительно данной метрики.

Теорема доказана.

Для того, чтобы пространство сделать полным, применяем процедуру пополнения, которая является обобщением процедуры пополнения из части «Последовательности и ряды». Опишем эту процедуру кратко.

Пусть пространство с метрикой не является полным. Рассматриваем множество всех последовательностей Коши в нём.

Определение. Две последовательности считаются эквивалентными, если расстояние между их элементами 0: если .

Определение. Класс эквивалентности это множество эквивалентных последовательностей.

Из неравенства треугольника следует, что если и то . Действительно, расстояние между и не превосходит суммы расстояний между от до и от до , а они стремятся к 0, значит и расстояние между и стремится к 0.

Вводим на множестве последовательностей Коши расстояние: = . Надо доказать, что этот предел существует, т.е. что последовательность фундаментальна. Доказываем, пользуясь неравенством треугольника и тем, что последовательности и фундаментальны: , откуда .

Аналогично доказывается обратное неравенство

,

что даёт . Последовательности и фундаментальны, поэтому для них можно записать требуемое неравенство. Таким образом, последовательность фундаментальна , значит, она имеет предел.

Остаётся доказать, что данный предел зависит не от самих последовательностей, а от их классов эквивалентности, т.е., если и , то . Доказывается этот факт с помощью оценок, аналогичных проведённым выше. Также доказывается, что удовлетворяет всем аксиомам метрики.

_{Аналогичными рассуждениями доказывается, что множество классов} эквивалентностей образуют метрическое пространство относительно метрики , причем исходное пространство можно в него вложить, если каждому элементу сопоставить постоянную последовательность

Остаётся доказать, что пространство является полным. Пусть – последовательность фундаментальных последовательностей. Она будет фундаментальна, если для выполняется условие . Последний шаг состоит в доказательстве того, что эта последовательность сходится к последовательности , точнее говоря, доказывается, что она фундаментальна и что исходная последовательность последовательностей к ней сходится в смысле расстояния D.

Упражнение на 5. Восполнить опущенные выше детали.

Обозначение для пополнения: для пополнения в смысле метрики и для пополнения в смысле метрики .

Элементы соответствующих функциональных пространств называются функциями, интегрируемыми по Лебегу, а продолжения оператора взятия интеграла на эти пространства – интегралом Лебега. Но данная теория остаётся за рамками курса.