§6. Градиент. Производная по направлению. Необходимые условия локального экстремума

Рассмотрим дифференцируемость скалярной функции векторного аргумента . Данный частный случай рассматривается в большинстве учебников по математическому анализу.

В данном случае, условие дифференцируемости имеет вид

,

где – линейный функционал .

Из линейной алгебры известно, что линейный функционал можно представить в виде . Считая, что вектора в заданы координатами в стандартном базисе: , , запишем последнее выражение в координатах .

Для определения смысла фиксируем все координаты вектора кроме . Тогда условие дифференцируемости примет вид , откуда видно, что является производной функции по переменной при фиксированных остальных переменных. Такая производная называется частной и обозначается . При этом вектор называется градиентом функции в точке и обозначается . Координатами этого вектора являются частные производные .

Введём понятие производной по направлению. Пусть , подстановка в условие дифференцируемости даёт . Таким образом . Заметим, что эта производная зависит не только от направления вектора , но и от его длины. Чтобы избавится от зависимости от длины, разделим на неё. В результате получается формула, которая является определением производной по направлению .

Замечание. Частная производная является производной функции по направлению соответствующей координатной оси.

Понятие экстремума практически без изменения переносится на многомерный случай.

Определение. Говорят, что функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума), если для всех достаточно малых выполняется одно из неравенств: для максимума и для минимума соответственно.

Очевидно, что если функция достигает локального экстремума в данной точке, то она достигает его по любому направлению, исходящему из этой точки, следовательно, в случае, если функция дифференцируема, применяя необходимое условие экстремума, получаем при любом , откуда . Записывая это равенства покоординатно, получаем, что необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю всех частных производных .

Рассмотренная выше координатная запись оператора легко переносится на многомерный случай. Действительно, каждая координата отображения является скалярной функцией и для неё можно записать из определения дифференцируемости:

.

Таким образом, оператору соответствует матрица, элементы которой являются частными производными координат по координатам вектора : , а главная часть приращения может быть записана в матричном виде .

§7. Производная сложной функции

В силу того, что частная производная является производной по одной переменной, основные свойства производных непосредственно переносятся на многомерный случай. Более того, такие свойства, как линейность выводятся из определения дифференцируемости для общего случая отображений нормированных пространств.

Упражнение. Вспомнить свойства производных от функций одной переменной. Какие из них переносятся на многомерный случай? Провести подробные рассуждения.

Некоторые свойства требуют отдельного рассмотрения. В частности, таким свойством является формула дифференцирования сложной функции. Определение. Под сложной функцией будем понимать композицию отображений : .

Считая, что рассматриваемые отображения являются дифференцируемыми, запишем соответствующие равенства:

, , где , . Из первого равенства следует, что . Подставляя одно равенство в другое, получаем:

Для доказательства того, что производной сложной функции является оператор осталось доказать, что последние два слагаемых являются .

Для первого слагаемого .

Для второго слагаемого при получаем .

Но по определению, а , откуда и следует требуемое утверждение.

Запишем полученное равенство в координатах, считая рассматриваемые пространства конечномерными. Пусть , , тогда . Эта формула обычно и используется в приложениях.